1、第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2函数的奇偶性课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列函数是奇函数的是()A.y=B.y=-3x2C.y=-|x|D.y=x3-x答案D解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-,1)(1,+),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.2.(2021四川乐山外国语学校高一期中)函数f(x)=的图象关于()A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线y=x对称答案B解析函数f(x)=,定
2、义域为x|x,定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x),函数f(x)=为偶函数,图象关于y轴对称,故选B.3.(多选题)(2020重庆沙坪坝校级期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数为奇函数的是()A.y=f(-x)B.y=f(x)+x3C.y=D.y=f(x)答案AB解析对于A,设F(x)=f(-x),其定义域为R,则有F(-x)=f-(-x)=f(x)=-f(-x)=-F(-x),故函数y=f(-x)为奇函数;对于B,设F(x)=f(x)+x3,其定义域为R,则有F(-x)=f(-x)+(-x)3=-f(x)+x3=-F(x),故函数y=f(x)+x3为奇函数;对于C,设
3、F(x)=,其定义域为x|x0,则有F(-x)=F(x),故函数y=是偶函数;对于D,y=f(x),其定义域为0,+),其定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选AB.4.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.-1B.1C.-3D.3答案C解析g(x)=f(x)-x,f(2)=1,g(2)=f(2)-2=1-2=-1.y=g(x)是偶函数,g(-2)=f(-2)+2=-1,f(-2)=-3.故选C.5.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.答案-26解析令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数
4、.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18.h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.6.(2021浙江金华曙光学校高二期中)若函数f(x)=|x|(x-a),aR是奇函数,则a=,f(2)=.答案04解析因为函数f(x)=|x|(x-a),aR是奇函数,即f(x)+f(-x)=0,令x=1,则f(1)+f(-1)=0,即1-a+(-1-a)=0,解得a=0,故f(x)=x|x|,则f(2)=4.7.(2021江苏苏州高一期中)已知函数f(x)=为奇函数.(1)求f(2)和实数a的值;(2)求方程f(x)=f
5、(2)的解.解(1)设x0,则-x0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若f(x)在-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.解(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,若x0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又由f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x2+2x.综上可得,f(x)=(2)由(1)知f(x)=作出函数图象如图,若f(x)在-2,b)上有最大值,即函数图象在区间-2,b)上有最高点,必有-21,故b的取值范围为(-2,0(1,+).学科素养创新练13.(多选题)(2021辽宁沈阳二中高一期中)已知f
6、(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),若f(1)=1,则下列判断正确的是()A.f(-1)=-1B.f(3)=1C.f(x)=f(x+4)D.f(18)+f(19)+f(20)=-1答案ACD解析f(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),即f(x)=f(2-x)=-f(-x),变形可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)=f(x+4),因此C正确;若f(1)=1,则f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,故A正确,B错误;f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0,又f(x)=f(2-x),令x=0,可得f(2)=
7、f(0)=0.因为f(x)=f(x+4),所以f(18)=f(2)=0,同理,f(19)=f(3)=-1,f(20)=f(0)=0,则f(18)+f(19)+f(20)=-1,D正确.故选ACD.14.(2021江苏无锡高一期末)我们知道,函数y=f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.则函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心的坐标为()A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,2)D.(1,-2)答案A解析设(a,b)为f(x)=x3+3x2的图象的对称中心的坐标,则有y=f(x+a)-b=(x+a)3+3(x+a)2-b为奇函数.设g(x)=(x+a)3+3(x+a)2-b,则g(x)为奇函数;g(x)=x3+3(a+1)x2+3(a2+2a)x+a3+3a2-b,又g(-x)+g(x)=0,可得3(a+1)x2+a3+3a2-b=0,所以解得所以函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心的坐标为(-1,2).故选A.