1、阶段提升课第二课 一元函数的导数及其应用思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一 导数的几何意义及其应用 1曲线 yxex1 在点(1，1)处切线的斜率等于()A2e Be C2 D1【解析】选 C.yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为 k2.2曲线 y(x3x2)ex 在 x1 处的切线方程为()Ay7ex5e By7ex9eCy3ex5e Dy3ex5e【解析】选 A.y(3x22x)ex(x3x2)ex，所以 y|x17e，又因为当 x1 时，y2e，所以所求的切线方程为 y2e7e(x1)，即 y7ex5e.3曲线 y3sin 2x3在点3，3 32处的
2、切线的斜率为()A1 B2 C3 D6【解析】选 C.由于 y3sin 2x3，所以 y6cos 2x3，于是斜率 ky|x36cos 2333.4如果函数 f(x)x36bx3b 在区间(0，1)内存在与 x 轴平行的切线，则实数 b 的取值范围是_【解析】存在与 x 轴平行的切线，即 f(x)3x26b0 有解，因为 x(0，1)，所以bx22 0，12.答案：b|0b12 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切
3、点，可先设切点为 Q(x1，y1)，则切线方程为 yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点 P(x0，y0)得 y0y1f(x1)(x0 x1)，又 y1f(x1)，由求出 x1，y1 的值，即求出了过点 P(x0，y0)的切线方程题组训练二 利用导数判断函数的单调性 1函数 f(x)2ln xx3x 的单调递增区间是()A(0，)B(3，1)C(0，1)D(1，)【解析】选 C.依题意，函数的定义域为(0，)，f(x)2x 1 3x2 x22x3x2（x3）（x1）x2，故当 0 x1 时，f(x)0，所以函数的单调递增区间为(0，1).2设函数 f(x)xeaxbx，曲线 yf(x)在点(
4、2，f(2)处的切线方程为 y(e1)x4.(1)求 a，b 的值；(2)求 f(x)的单调区间【思路点拨】(1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性【解析】(1)因为 f(x)xeaxbx，所以 f(x)(1x)eaxb.依题设f（2）2e2，f（2）e1，即2ea22b2e2，ea2be1.解得a2，be.(2)由(1)知 f(x)xe2xex.由 f(x)e2x(1xex1)及 e2x0 知，f(x)与 1xex1 同号令 g(x)1xex1，则 g(x)1ex1.所以，当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递
5、增故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x)0，x(，).综上可知，f(x)0，x(，)，故 f(x)的单调递增区间为(，).利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想这部分内容要注意的是 f(x)为增函数f(x)0 且 f(x)0 的根有有限个，f(x)为减函数f(x)0 且 f(x)0 的根有有限个题组训练三 利用导数研究函数的极值、最值 1若函数 yf(x)满足 xf(x)f(x)在 R 上恒成立，且 ab，则()Aaf(b)bf(a)Baf(a)bf(b)Caf(a)bf(b
6、)Daf(b)0，所以 g(x)在 R 上是增函数，又 ab，所以 g(a)g(b)，即 af(a)bf(b).2对任意的 xR，函数 f(x)x3ax27ax 不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0 或 a7Ca21 Da0 或 a21【解析】选 A.f(x)3x22ax7a，当 4a284a0，即 0a21 时，f(x)0 恒成立，函数 f(x)不存在极值点3已知函数 f(x)xexc 有两个零点，则 c 的取值范围是_.【解析】因为 f(x)ex(x1)，所以易知 f(x)在(，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，且 f(x)minf(1)ce1，由题意得 ce10，得 ce1
7、.因为当 c0时，x(，1)时，f(x)xexc0.综上 0c1e.答案：(0，1e)4已知函数 f(x)x3ax2b 的图象上一点 P(1，0)，且在点 P 处的切线与直线 3xy0 平行(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于 x 的方程 f(x)c 在区间1，3上恰有两个相异的实根，求实数 c 的取值范围【解析】(1)因为 f(x)3x22ax，曲线在点 P(1，0)处的切线斜率为 f(1)32a，即32a3，a3.又因为函数过(1，0)点，即2b0，b2.所以 a3，b2，f(x)x33x22.(2)由
8、 f(x)x33x22，得 f(x)3x26x.由 f(x)0 得 x0 或 x2.当 0t2 时，在区间(0，t)上 f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以 f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当 2t3 时，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x0(0，2)2(2，t)tf(x)003t26tf(x)22t33t22f(x)minf(2)2.f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以 f(x)maxf(0)2.(3)令 g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2).在
9、x1，2)时，g(x)0.要使 g(x)0 在1，3上恰有两个相异的实根，则g(1)0g(2)0g(3)0，解得20)，y250 x 225 x2，由 y0，得 x25，当 x(0，25)时，y0，当 x(25，)时，yf(x)，且 f(x)2 020为奇函数，则不等式 f(x)2 020ex0 的解集为()A(，0)B(0，)C，1e D1e，【解析】选 B.由题意可知，令 g(x)f（x）ex，则 g(x)f（x）f（x）ex，因为 f(x)f(x)，故 f(x)f(x)0，即 g(x)0，所以 g(x)在 R 上为减函数又因为 f(x)2 020 为奇函数，所以 f(0)2 0200，即
10、 f(0)2 020，则 g(0)2 020.所以不等式 f(x)2 020ex0 等价于 g(x)0，即不等式 f(x)2 020ex0 的解集为 x(0，).2定义在区间(0，)上函数 f(x)使不等式 2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，f(x)为 f(x)的导数，则f（2）f（1）的取值范围是_.【解析】令 g(x)f（x）x3，则 g(x)xf（x）3f（x）x4，因为 xf(x)3f(x)，则 xf(x)3f(x)0.所以 g(x)0 在(0，)上恒成立即 g(x)在(0，)上单调递减，可得 g(2)g(1)，即f（2）8f（1）1.由 2f(x)0，则f（2）f（1）2f(x)，即 xf(x)2f(x)0，所以 h(x)0 在(0，)上恒成立，即 h(x)在(0，)上单调递增所以 h(2)h(1).即f（2）4f(1)，即f（2）f（1）4，所以 4f（2）f（1）8.答案：(4，8)讨论方程根的个数，研究函数图象与 x 轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解
