1、1彭山一中 22 届高二下入学考试数学理科试题注意事项：1.本试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。2.本试卷分为试题卷（1-4 页）和答题卡两部分，试题卷上不答题。请将选择题和非选择题的答案答在答题卡的相应位置。考试结束，只交答题卡。一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1x 的倾斜角是（）A.6B.4C.2D.不存在2.与双曲线2212xy共焦点，且离心率互为倒数的椭圆方程是A.2212xyB.2214xyC.2222193xyD.22163xy3若直线 1:260laxy与直线22:(1)
2、10lxaya平行，则 a 的值为A2a 或1a B2a C2a 或1a D1a 4.若双曲线222210,0 xyabab一条渐近线的斜率为 12，则该双曲线的离心率为（）A.32B.62C.5D.525设 m，n 是不同的直线，是三个不同的平面，有以下四个命题，其中正确命题的序号是若m，n，/，则/mn；若m，n，/mn，则/；若，则/.若/，/，m，则 m；ABCD6在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D中，点 E 为1BB 的中点，则点1C 到平面1A ED 的距离为（）2A 12B 23C1D227.已知12,F F 为椭圆221916xy的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于
3、,A B 两点，若2210F AF B，则 AB （）A.2B.4C.6D.108 如图，M，N是分别是四面体O-ABC的棱OA，BC的中点，设OA a，OB b，OC c，若 MN xaybzc，则 x，y，z 的值分别是A 12，12，12B 12，12，12C12，12，12D12，12，129.已知22:1,:1p xyq xy，则 p 是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.已知圆22:1C xy，从点 2,0A观察点 2,Bb，若视线不被圆C 挡住（视线所在直线与圆C 无公共点），则实数b 的取值范围是A.,4 34 3,B.
4、4 3,4 3C.4 34 3,33 D.4 3 4 3,3311.已知双曲线222210,0 xyabab，过其右焦点 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 A、B两点，若双曲线的左焦点在以 AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A.1,2B.1,12C.2,D.12,12已知正方体1111ABCDA B C D内切球的表面积为，P 是空间中任意一点：若点 P 在线段1AD 上运动，则始终有11C PCB；若 M 是棱11C D 中点，则直线 AM与1CC 是相交直线；若点 P 在线段1AD 上运动，三棱锥1DBPC体积为定值；E 为 AD 中点，过点1,B 且与平面1A BE 平行
5、的正方体的截面面积为62若点 P 在线段1A B 上运动，则1APPD的最小值为22以上命题为真命题的个数为A 2B3C 4D53二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）13.抛物线214yx上一点 M 到焦点的距离为3，则点 M 的纵坐标为_14.已知,x y 满足23620 xyxyxy，2zxy，则 z 的最小值为_15.三棱锥 DABC 中，BCD 是边长为 2 的正三角形，BCD 与ABC 所在平面互相垂直，且 AC1，若三棱锥 DABC 的四个顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为16.已知ABC中，1,0B、1,0C，1k、2k 分别是直线 AB 和 AC
6、 的斜率.关于点 A有如下四个命题：若 A 是双曲线2212yx 上的点，则122kk；若122kk ，则 A 是椭圆2212xy 上的点；若121kk=-，则 A 是圆221xy上的点；若2ABAC，则 A 点的轨迹是圆.其中所有真命题的序号是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 12 分）已知点(1,3)M，圆C:22(2)(1)4xy（1）若直线l 过点 M，且被圆C 截得的弦长为 2 3，求直线l 的方程；（2）设O 为坐标原点，点 N 在圆C 上运动，线段 MN 的中点为 P,求 OP 的最大值18.（本小题满分
7、 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是正方形，3 2,3,PBPDPAAD点,E F 分别为线段,PD BC 的中点.求证:/EF平面 ABP;（2）求证:平面 AEF 平面 PCD;（3）求三棱锥CAEF的体积419（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，ACAA12BC，E，F 分别为侧棱 BB1，CC1 中点（1）证明：BF平面 A1C1E（2）求 B1C 与平面 A1C1E所成角的正弦值20.（本小题满分 12 分）已知点1,0F，直线:1,l xP 为平面上的动点，过点 P 作l 的垂线，垂足为点Q，且QP QFFP FQ .
8、1 求动点 P 的轨迹C 的方程:2 过点 F 的直线交轨迹C 于 AB、两点，交直线l 于点 M.若1MAAF，212(,)MBBFRR,求12的值.21.（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCA B C中，四边形11ACC A 为矩形，且122AAAC，平面11AA B B 平面11ACC A，2AB，14BAA.（1）证明：AB 平面11BAC.（2）求异面直线CB 与1AC 所成角的余弦值.（3）线段1A B 上是否存在一点 D，使得平面1DAC 与平面11ACC A 所成锐二面角的余弦值为7014？若存在，求出1A DDB的值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分 1
9、2 分）在直角坐标系内，点 A，B 的坐标分别为（2，0），（2，0），P 是坐标平面内的动点，且直线 PA，PB 的斜率之积等于 1-4设点 P 的轨迹为 C（1）求轨迹 C 的方程；（2）某同学对轨迹 C 的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为 0 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，则直线 AM，BN 的交点 Q 在一条定直线上此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由5彭山一中 22 届高二下入学考试数学理科参考答案一、选择题123456789101112CCDDCCCDBCDC13.214.515.16.(1)(3)17.18.【
10、解答】证明：（1）如图，取 PA 的中点 G，连接 BG，EG，点 E，G 分别为 PD，PA 的中点，又F 是 BC 的中点，四边形 ABCD 是正方形，BFEG 且 BFEG，故四边形 EFBG 为平行四边形，EFBG，BG平面 ABP，EF平面 ABP，EF平面 ABP；证明：（2）由条件知，PAB 和PAD 都是等腰直角三角形，PAAB，PAAD，又ABADA，AB、AD平面 ABCD，PA平面 ABCD，则 PACD，6又ADCD，PAADA，PA、AD平面 PAD，CD平面 PAD，得 CDAE，E 是 PD 的中点，AEPD，又PDCDD，PD、CD平面 PCD，AE平面 PCD
11、，而 AE平面 AEF，平面 AEF平面 PCD；解：（3）由图可知 VCAEFVEACF，即三棱锥 CAEF 的体积为19.【解答】解：（1）证明：在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F 分别为侧棱 BB1，CC1 中点BEC1F，四边形 BEC1F 是平行四边形，BFEC1，BF平面 A1C1E，EC1平面 A1C1E，BF平面 A1C1E（2）在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，ACAA12BC，E，F 分别为侧棱 BB1，CC1 中点以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 ACAA12BC2，则 B1（0，1，2），
12、C（0，0，0），A1（2，0，2），C1（0，0，2），E（0，1，1），（0，1，2），（2，0，0），（0，1，1），设平面 A1C1E 的法向量（x，y，z），则，取 y1，得（0，1，1），设 B1C 与平面 A1C1E 所成角为，则 sinB1C 与平面 A1C1E 所成角的正弦值为20解：（1）设点(,)P x y，则(1,)Qy，由 QP QFFP FQ ，得(1,0)(2,)(1,)(2,)xyxyy 化简得曲线 C 的方程为24yx7（2）由于直线 AB 不能垂直于 y 轴，且又过 x 轴上的定点，设直线 AB 的方程为1(0)xmym，则21,Mm设11(,)A xy，2
13、2(,)B xy，联立方程组241yxxmy，消去 x 得2440ymy，2(4)160m ，故121244.yymy y，由1MAAF，2MBBF，得1111121(1)xyxym，2222221(1)xyxym，利用对应的纵坐标相等，得1112yym，2222yym，整理得1121my ，2221my 所以1212121221122422204yymmyymy ym 21.解：（1）因为平面11AA B B 平面11ACC A，四边形11ACC A 为矩形，所以11C A 平面1ABA，所以11C AAB2 分又因为2AB，14BAA，12AA，所以1A BAB，因为1111C AA BA
14、，所以 AB 平面11BAC.4 分（2）记1AA，1CC 的中点分别为O，E，连接OB，OE，由题知，OB，1OA，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，OE 所在直线为 x 轴，1OA 所在直线为 y 轴，OB 所在直线为 z轴建立空间直角坐标系，如图所示，1,1,0C，0,0,1B，0,1,0A，1 1,1,0C，所以1,1,1CB ，11,2,0AC，6分因为111115cos,1535CB ACCB ACCB AC ，所以异面直线CB 与1AC 所成角的余弦值为1515.8 分8（3）假设存在，设1 01BDBA，所以0,1D，0,1,1AD，设平面1DAC 的法向量1111,ex y
15、z，所以11100eACeAD ，即 111120110 xyyz，令11z，解得11y，122x，所以122,1,1e，平面11ACC A的 法 向 量20,0,1e，因 为 平 面1DAC 与 平 面11ACC A 所 成 锐 二 面 角 的 余弦 值 为7014，10 分所以121222212170cos,144111e ee ee e ，整理化简得241740，解得14 或4（舍去），所以线段1A B 上存在一点 D，且13A DDB.12 分22.【解答】解：（1）由，得 4y24x2，即故轨迹 C 的方程为：（2）根据题意，可设直线 MN 的方程为：xmy+1，由，消去 x 并整理得（m2+4）y2+2my30其中，4m2+12（m2+4）16m2+480设 M（x1，y1），N（x2，y2），则，9因直线 l 的倾斜角不为 0，故 x1，x2 不等于2（y1，y2 不为 0），从而可设直线 AM 的方程为，直线 BN 的方程为，所以，直线 AM，BN 的交点 Q（x0，y0）的坐标满足：而，因此，x04，即点 Q 在直线 x4 上所以，探究发现的结论是正确的