1、高考资源网（） 您身边的高考专家第四节三角函数的图象与性质最新考纲考情分析核心素养1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.三角函数的值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性都将是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.1.数学运算2.逻辑推理3.直观想象知识梳理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0)(2)余弦函数ycos x
2、，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR xk，kZ值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在，(kZ)上增；在，(kZ)上减在2k，2k(kZ)上减；在2k，2k(kZ)上增在，(kZ)上增对称中心(k，0) (kZ)(kZ)(kZ)对称轴xk(kZ)xk(kZ)无常用结论(1)函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为T，函数ytan(x)的最小正周期为T.(2)求函数yAsin(x)的单调区间时，应注意的符号，只有当0时，才能把(x)看作一个整体，
3、代入ysin t的相应单调区间求解(3)函数ysin x与ycos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如ycos x的对称轴为xk(kZ)，而不是x2k(kZ)(4)对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数()(2)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数()(6)若sin x，
4、则x.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、走进教材2(必修4P46A2，3改编)若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则()AT，A1BT2，A1CT，A2DT2，A2答案：A3(必修4P47B2改编)函数ytan的单调递减区间为_答案：，kZ三、易错自纠4已知函数ysin x的定义域为a，b，值域为，则ba的值不可能是()ABCD解析：选A画出函数ysin x的草图分析知，ba的取值范围为.5函数ysin的单调递减区间为_解析：函数ysinsin的单调递减区间是函数ysin的单调递增区间由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的单调递减区间为k，k，kZ
5、.答案：，kZ6函数ysin的图象的对称轴为_，对称中心为_解析：由xk，kZ，得xk，kZ；由xk，kZ，得xk，kZ，故函数ysin的图象的对称轴为xk，kZ，对称中心为，kZ.答案：xk，kZ，kZ|题组突破|1函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0，2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.答案：(kZ)2函数f(x)3sin在区间上的值域为_解析：当x时，2x，sin，故3sin，函数f(x)在区间上的值域为.答案：3(2
6、019年全国卷)函数f(x)sin3cos x的最小值为_解析：f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令tcos x，则t1，1，f(x)2t23t1.又函数f(x)图象的对称轴t1，1，且开口向下，当t1时，f(x)有最小值4.答案：44函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_解析：设tsin xcos x，则t，t2sin2xcos2x2sin xcos x，则sin xcos x，yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.答案：名师点津求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路(1)形如yasin x
7、bcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)【例1】(1)函数f(x)sin 2xsin cos 2xcos 在上的单调递增区间为_(2)函数y|tan x|在上的单调减区间为_(3)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_解析(1)(整体代入法)依题意，得f(x)sin 2xsin cos 2xcos cos.当
8、2k2x2k(kZ)，即kxk，kZ时，函数f(x)是增函数因此函数f(x)在上的单调递增区间是.(2)(图象法)如图，观察图象可知，y|tan x|在上的单调减区间为和.(3)解法一：由题意，可知f(x)在上单调递减，则x0，得x，由正弦函数的单调性知函数在上单调递减，所以解得，所以.解法二：由已知，所以02.又x，得x0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解|跟踪训练|1函数f(x)tan的单调递增区间是()A(kZ)B(kZ)C(kZ
9、)D(kZ)解析：选B由k2xk(kZ)，得x0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_解析：f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减，知，.答案：多维探究三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的奇偶性；(3)三角函数的对称性；(4)三角函数性质的综合应用命题角度一三角函数的周期性【例2】在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期为的
10、所有函数为()ABCD解析ycos|2x|cos 2x，最小正周期为；由图象知，y|cos x|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan的最小正周期T，故选A答案A命题角度二三角函数的奇偶性【例3】(2019届抚顺调研)已知函数f(x)2sin是偶函数，则的值为_解析函数f(x)为偶函数，k(kZ)又，解得，经检验符合题意答案命题角度三三角函数的对称性【例4】(1)已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为4，则该函数的图象()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称(2)(2018年江苏卷)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值为_解析(1)因为函数f
11、(x)2sin(0)的最小正周期为4，而T4，所以，即f(x)2sin.令k(kZ)，解得x2k(kZ)，故f(x)的对称轴为x2k(kZ)令k(kZ)，解得x2k(kZ)，故f(x)的对称中心为(kZ)，对比选项可知B正确(2)由题意得，fsin1，k(kZ)，k(kZ)，.答案(1)B(2)命题角度四三角函数性质的综合应用【例5】(2019年全国卷)关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间单调递增；f(x)在，有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()ABCD解析解法一：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin
12、 x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在上单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，只有3个零点，故不正确，正确综上，正确结论的序号是.故选C解法二：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确，排除B；当x0)的最小正周期为，函数yAtan(x)(0)的最小正周期为求解(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心|跟踪训练|3(2018年全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x
13、)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为4解析：选B易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，则f(x)的最小正周期为.当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.故选B4(2019年全国卷)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|解析：选AA中，函数f(x)|cos 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)|sin 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)cos|x|cos x的周期为2，故C不正确；D中，f(x)sin|x|由正弦函数图象知，在x0和x0)两个相邻的极值点，则()A2BC1D解析依题意得，函数f(x)的最小正周期T2，解得2，故选A答案A名师点津通过极值点分析问题转化为三角函数周期可快速求解|跟踪训练|(2019届武汉市高三二调)函数f(x)2sinx(0)的图象在0，1上恰有两个极大值点，则的取值范围为()A2，4BCD解析：选C由函数f(x)在0，1上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知，则.故选C- 11 - 版权所有高考资源网