1、第一节数列的概念与简单表示法最新考纲考情分析核心素养1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.数列通项公式的求解，前n项和Sn与数列的项an之间的关系的应用，数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，题型以选择题与填空题为主，分值为5分，有时也会出现在解答题中，分值为36分.1.数学运算2.逻辑推理知识梳理1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与序号n之间的关系能用公式anf(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，S
2、na1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an与an1的关系式或a1，a2和an1，an，an1的关系式等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an常用结论在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形4数列的分类常用结论1数列是一种特殊的函数，数列的单调性、周期性在求值时常常用到. 2在数列an中，若an最大，则若an最小，则基础自测一、
3、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(4)1，1，1，1，不能构成一个数列()(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(6)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、走进教材2(必修5P33A4改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于()ABCD答案：D3(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个
4、通项公式an_答案：5n4三、易错自纠4已知数列an的通项公式为ann28n15，则()A3不是数列an中的项B3只是数列an中的第2项C3只是数列an中的第6项D3是数列an中的第2项或第6项解析：选D令an3，即n28n153，解得n2或n6，故3是数列an中的第2项或第6项5已知数列an的前n项和为Sn32n，则数列an的通项公式为_解析：当n1时，a1S1325；当n2时，anSnSn132n(32n1)2n2n12n1.因为当n1时，不符合an2n1，所以数列an的通项公式为an答案：an6已知数列an的前n项和Sn2n2n，则an_解析：当n2时，anSnSn12n2n2(n1)2
5、(n1)4n1.当n1时，a1S13411，也满足上式，故an4n1.答案：4n1|题组突破|1已知数列an的前n项和为Snn22n2，则数列an的通项公式为()Aan2n3Ban2n3CanDan解析：选C当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn12n3.由于当n1时，a1的值不适合n2的解析式，故选C2已知数列an的前n项和Sn2an1，则满足2的正整数n的集合为()A1，2，3B2，3，4C1，2，3，4D1，2，3，4，5解析：选C因为Sn2an1，所以当n2时，Sn12an11，两式相减得an2an2an1，整理得an2an1.又a12a11，所以a11，故an2n1.又2，即2
6、n12n，所以有n1，2，3，43(2019届潍坊模拟)已知数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_解析：当n1时，a1S1a1，a11；当n2时，anSnSn1anan1，.数列an为首项a11，公比q的等比数列，故an.答案：名师点津已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写多维探究命题角度一形如an1anf(n)，求an【例1】(201
7、9届郑州模拟)设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列an的通项公式为_解析由题意得a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.a11，an(n2)当n1时也满足此式，an.答案an名师点津对于形如an1anf(n)的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之差是一个关于n的函数式，可以直接对等式两边求和进行解答，也可写为an(an1an2)(a2a1)a1的形式命题角度二形如f(n)，求an【例2】在数列an中，a11，anan1(n2，nN*)，则数列an的通项公式为_解析anan1(n2)，an1an2，an2an3，a2a1.以上各式相乘得，a
8、na1.当n1时，a11，符合上式，an.答案an名师点津对于形如f(n)的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之商是一个关于n的函数式，可以直接对等式两边求积解答，也可写为ana1的形式命题角度三形如an1panq(p0且p1，q0)，求an【例3】(2019届青岛模拟)已知数列an满足a11，an13an2(nN*)，则数列an的通项公式为_解析an13an2，an113(an1)，3，又a112.数列an1是以2为首项，3为公比的等比数列an123n1，an23n11.答案an23n11名师点津对于形如an1panq(p0且p1，q0)的递推关系的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上
9、有一个常数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为an1kp(ank)求解命题角度四形如an1(A，B，C为常数)，求an【例4】已知在数列an中，a11，an1(nN*)，则数列an的通项公式an_解析因为an1，a11，所以an0，所以，即.又a11，所以1，所以是以1为首项，为公差的等差数列所以1(n1).所以an.答案名师点津形如an1(A，B，C为常数)的数列，将其变形为.若AC，则是等差数列，且公差为，可直接用公式求通项；若AC，则采用待定系数法，构造新数列求解|跟踪训练|1(累加法)已知在数列an中，a13，an1an，则通项公式an_解析：原递推公式可化为an1an
10、，则当n2时，a2a11，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，累计相加得，ana11，故an4.又当n1时，也符合上式，an4.答案：42(累乘法)已知a12，an12nan，则数列an的通项公式an_解析：an12nan，2n.当n2时，ana12n12n2222.又a12也符合上式，an2.答案：23(待定系数法)已知数列an中，a13，且点Pn(an，an1)(nN*)在直线4xy10上，则数列an的通项公式为_解析：因为点Pn(an，an1)(nN*)在直线4xy10上，所以4anan110.所以an14.因为a13，所以a1.故数列是首项为，公比为4的等比数列所以an4n1
11、.故数列an的通项公式为an4n1.答案：an4n14(取倒数法)已知数列an满足a11，an1(nN*)，若bn1(n2)(nN*)，b1，且数列bn是递增数列，则实数的取值范围是_解析：由an1，得1，所以12，故是首项为12，公比为2的等比数列，所以12n.因为bn1(n2)(n2)2n，b1，且数列bn是递增数列，所以解得所以a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10aan1，则实数a的取值范围是()ABCD解析：选B因为anan1恒成立，又当n6时，an为等比数列，所以0a1.若0a，则当n6时，不满足题意；若aan1，当nan1对任意的nN*恒成立，所以a6a5，即a51，解得a，所以a，故选B