1、 2.2.2椭圆的几何性质1掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a、b、c的几何意义(重点)2会用椭圆的几何意义解决相关问题(难点)基础初探教材整理1椭圆的简单几何性质阅读教材P43P44第5自然段，完成下列问题.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)_范围_顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长_，长轴长_焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|_对称性对称轴为_，对称中心为_【答案】1(ab0)axa且bybbxb且aya2b2a
2、2c坐标轴原点1椭圆1的长轴长为()A81 B9C18 D45【解析】由标准方程知a9，故长轴长2a18.【答案】C2椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为()A. B2 C D4【解析】方程化为x21，长轴长为，短轴长为2，由题意，22，m.【答案】C教材整理2离心率阅读教材P44“离心率”P44“例1”，完成下列问题1定义：椭圆的焦距与长轴长的比_叫做椭圆的_【答案】e离心率2性质：离心率e的范围是_当e越趋近于1时，椭圆_；当e越趋近于_时，椭圆就越趋近于圆【答案】(0,1)越扁01椭圆1的离心率为_【解析】a216，b28，e.【答案】2已知椭圆的两焦点为F1
3、、F2，A为椭圆上一点，且0，AF2F160，则该椭圆的离心率为_【解析】0，AF1AF2，且AF2F160.设|F1F2|2c，|AF1|c，|AF2|c.由椭圆定义知：cc2a，即(1)c2a.e1.【答案】1质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型根据椭圆的方程研究其几何性质若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为() 【导学号：15460030】A.1B1C.1 D1【精彩点拨】根据椭圆的几何性质解题【自主解答】由题意，得解得因为椭圆的焦点在x
4、轴上，所以椭圆的标准方程为1.【答案】B1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型2焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍再练一题1已知椭圆方程为9x216y2144，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标【解】已知方程化成标准方程为1.a4，b3，c.椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，离心率e.焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)；四个顶点的坐标为A1(4,0)，A2(4,0)，B1(0，3)，B2(0,3).由几
5、何性质求椭圆的方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.【精彩点拨】(1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基本量a、b、c分别为多少？怎样求出？【自主解答】(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c，b2a2c2963.椭圆的方程为1.若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227.椭圆的方程为1.所求椭圆的方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1.1用几何性质求椭
6、圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论一般步骤是：求出a2，b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程3在求解a2、b2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a2b2c2，e等构造方程(组)加以求解再练一题2椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为_【解析】2a10，c4，a225，b2a2c29.焦点在x轴上，故标准方程为1.【答案】1探究共研型椭圆的离心率探究已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c，0)，A(a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的
7、离心率e.【提示】由A(a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB，故AB所在的直线方程为ybx，即bxayab0.又F1(c,0)，由点到直线的距离公式可得d，(ac).又b2a2c2，整理得8c214ac5a20，即821450.8e214e50.e或e(舍去)综上可知，椭圆的离心率e.若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率【精彩点拨】能否由已知条件构造关于的方程【自主解答】由题意得：2bac，4b2(ac)2，又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即3a22ac5c20，32520，即52230，e.求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体
8、如下：(1)若已知a，c可直接代入e求得；(2)若已知a，b，则使用e求解；(3)若已知b，c，则求a，再利用(1)或(2)求解；(4)若已知a，b，c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)再练一题3若过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为_【解析】由题意，PF1F2为直角三角形，且F1PF260，所以|PF2|2|PF1|.设|PF1|x，则|PF2|2x，|F1F2|x，又|F1F2|2c，所以x.即|PF1|，|PF2|.由椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a，所以2a，即e.【答案】构建体系1已知椭圆1
9、(ab0)与椭圆1有相同的长轴，椭圆1(ab0)的短轴长与1的短轴长相等，则()Aa215，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29【解析】由题意得，椭圆1的焦点在x轴上，且2a10，a5,2b6，b3，故a225，b29.【答案】D2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B1C.1 D1【解析】右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上，c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.【答案】D3已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于_【解析】
10、根据题意得2b6，ac9或ac9(舍去)所以a5，c4，故e.【答案】4与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是_. 【导学号：15460031】【解析】椭圆9x24y236可化为1，因此可设待求椭圆为1.又b2，故m20，得1.【答案】15求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e；(2)焦距为8，在y轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直【解】(1)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a3，e，所以c，从而b2a2c23，所以椭圆的标准方程为1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b3，e，所以，所以a227.所以椭圆的标准方程为1.综上可知，所求椭圆的标准方程为1
11、或1.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知，得c4，b4，则a2b2c232，故所求椭圆的标准方程为1.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是()A.1B1C.1 D1【解析】由题意知2b8，得b4，所以b2a2c216，又e，解得c3，a5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为1，故选C.【答案】C2椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为()A. BC. D【解析】由题意知a2c，e.【答案】A3曲线1与1(0
12、kb0)的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kABkOM_.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点坐标M，得kAB，kOM，kABkOM，b2xa2ya2b2，b2xa2ya2b2，得b2(xx)a2(yy)0，即.【答案】8已知P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，则m2n2的取值范围是_【解析】因为P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，所以m21，即n222m2，所以m2n22m2，又1m1，所以12m22，所以1m2n22.【答案】1,2三、解答题9(1)求与椭圆1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标
13、分别是(6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程【解】(1)c，所求椭圆的焦点为(，0)，(，0)设所求椭圆的方程为1(ab0)e，c，a5，b2a2c220，所求椭圆的方程为1.(2)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)，2c8，c4，又a6，b2a2c220.椭圆的方程为1.10设椭圆1(ab0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且OPA120，求椭圆的离心率【解】不妨设A(a,0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得1，y2b2，即P，又OPA120，所以POA30，故tanPOA，所以a3b
14、，所以e.能力提升1(2016福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A. B1C2 D【解析】设椭圆的方程为1(ab0)，由题意得|PF2|2c，即2c，得离心率e1，故选B.【答案】B2“m3”是“椭圆1的离心率为”的()【导学号：15460033】A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】椭圆1的离心率为，当0m4时，得m，即“m3”是“椭圆1的离心率为”的充分不必要条件【答案】A3(2016济南历城高二期末)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆
15、上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是_【解析】由2，得|AO|2|FO|(O为坐标原点)，即a2c，则离心率e.【答案】4已知点A，B分别是椭圆1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值【解】(1)由已知可得A(6,0)，B(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)由已知得则2x29x180，解得x或x6.由于y0，所以只能取x，于是y.所以点P的坐标是.(2)直线AP的方程是xy60.设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是，又B(6,0)，于是|m6|，又6m6，解得m2，设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有d2(x2)2y2x24x420x2215，由于6x6，所以当x时，d取最小值为.