1、圆锥曲线20152014201320122211.【2014广东（理）高考4】若实数满足，则曲线与曲线的( )A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D 2.【2013广东（理）高考7】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是().A. B. C. D.【答案】B3.【2014广东（理）高考20】 (本小题满分14分)已知椭圆的一个焦点为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.【答案】(1) (2) 解：（）可知，又，椭圆C的标准方程为；（）设两切线为，当轴或轴时
2、，对应轴或轴，可知当与轴不垂直且不平行时，设的斜率为，则，的斜率为，的方程为，联立，得，因为直线与椭圆相切，所以，得，所以是方程的一个根，同理是方程的另一个根，得，其中，所以点P的轨迹方程为（），因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为4.【2013广东（理）高考20】 (本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.【答案】(
3、1) (2) (3)() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为. () 抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.所以直线的方程为.() 由抛物线定义可知,所以联立方程,消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得,所以又点在直线上,所以,所以所以当时, 取得最小值,且最小值为. 5.【2012广东（理）高考20】 (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为；(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不
4、同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）由，所以设是椭圆上任意一点，则，所以所以，当时，有最大值，可得，所以故椭圆的方程为：（2）因为在椭圆上，所以，直线：与圆O：相交于不同的两点设点O到直线AB的距离为，则且所以设，由，得，所以，所以，当时，面积最大，最大为. 此时，. 6 （广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,抛物线的准线与轴的交点为,点在抛物线上且,则的面积为（）A4B8C16D32 【答案】D 7 （广东省六校2014届高三第一次联考理科数学试题）若动圆的圆心
5、在抛物线上,且与直线相切,则此圆恒过定点（）ABCD【答案】C 8（广东省揭阳一中等2014届高三上学期开学摸底联考数学理试题 ）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C既不充分也不必要条件D充要条件 D【答案】D 9 （广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知圆C:的圆心为抛物线的焦点,直线3x+4y+2=0与圆C相切,则该圆的方程为（）ABCD【答案】C 10 （广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试数学理试题）若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为（）ABC 2D【答案】B 11（广东省湛江市湖光中
6、学2014届高三上学期入学考试数学（理）试题）已知抛物线,则它的焦点坐标是（）A(0,)B(,0)C(,0)D(0, )【答案】D 12（2013-2014学年广东省（宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）定义:关于的不等式的解集叫的邻域.已知的邻域为区间,其中分别为椭圆的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合,则椭圆的方程为（）ABCD【答案】B 13（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）平面直角坐标系上有两个定点和动点,如果直线和的斜率之积为定值,则点的轨迹不可能是( )(下列轨迹的一部分)（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】D 14（广东省
7、汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）试题）双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为_,渐近线方程为_.【答案】, 15（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为_. 【答案】 解析:双曲线的右焦点是抛物线的焦点,所以, 16（广东省六校2014届高三第一次联考理科数学试题）已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴端点、焦点,则双曲线C的渐近线方程是_.【答案】 解析:椭圆长轴端点为(-5,0),(5,0),焦点为(-3,0),(3,0),所以,对于双曲线中, c=5,a=3,求得b=4,双曲线方程为:=1,
8、渐过线方程为: 17（广东省揭阳一中等2014届高三上学期开学摸底联考数学理试题 ）若双曲线-=1的渐近线与圆相切,则此双曲线的离心率为_. 【答案】2; 18（广东省深圳市高级中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为_.【答案】 19（广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_. 【答案】 20（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）在平面直角坐标系中,已知点,为动点,且直线与直线的斜率
9、之积为.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设过点的直线与曲线相交于不同的两点,.若点在轴上,且,求点的纵坐标的取值范围.【答案】解:(1)设动点的坐标为,依题意可知, 整理得 所以动点的轨迹的方程为 (2)当直线的斜率不存在时,满足条件的点的纵坐标为 当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 将代入并整理得, . 设,则, . 设的中点为,则, 所以 由题意可知, 又直线的垂直平分线的方程为. 令解得 当时,因为,所以; 当时,因为,所以 综上所述,点纵坐标的取值范围是 21（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）已知、是双曲线的两个焦点,若离心率等于的椭圆与双曲线的焦
10、点相同.1)求椭圆的方程;2)如果动点满足,曲线的方程为: .判断直线与曲线的公共点的个数,并说明理由;当直线与曲线相交时,求直线截曲线所得弦长的最大值.【答案】解:1)、是双曲线的两个焦点 不妨设、 椭圆与双曲线的焦点相同. 设椭圆的方程为 根据已知得,解得 椭圆的方程为 22（广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,动点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为曲线,直线过点且与曲线交于,两点.(1)求曲线的轨迹方程;(2)是否存在面积的最大值,若存在,求出的面积;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴长为2的椭圆,
11、故曲线C的方程为 (2)存在面积的最大值 因为直线过点,可设直线的方程为或(舍) 则 整理得 由. 设. 解得 , . 则 . 因为 设,. 则在区间上为增函数. 所以. 所以,当且仅当时取等号,即. 所以的最大值为 23（广东省湛江市湖光中学2014届高三上学期入学考试数学（理）试题）已知定点R的坐标为(0,-3),点P在x轴上,线段PM与y轴交于点Q,且满足=2(1) 若点P在x轴上运动,求点M的轨迹E;(2) 求轨迹E的倾斜角为的切线0的方程;(3) 若(2)中切线0与y轴交于点G,过G的直线与轨迹E交于A.B两点,点D的坐标为(0,1),当ADB为钝角时,求直线的斜率的取值范围.【答案
12、】解:(1) 设点M的坐标为 (x, y),点P的坐标为 (x1,0),点Q的坐标为 (0,y2) (x10),则=(-x1,-3),=(x-x1,y),=(-x1,y2) =0 -x1(x-x1)-3y=0 即x12-x1x-3y=0 由=2得= x1=-代入上式的y=x2 (x0) (2) 设切点为 (x0, y0) y1=x 切线0=x0=tan=1 x0=2 切点为 (2,1) 切线0的方程为x-y-1=0 (3) 0的切线方程为x-y-1=0 G (0, -1) 设的斜率为k 的方程为y=kx-1 由的x2-4k+4=0 设A(x1, y1),B(x2, y2),则x1, x2是方程
13、的两根 =16k2-16 0 k21 ADB为钝角 而|=(x1;y1-1),=(x2, y2-1) x1x2+(y1-1) (y2-1)0 x1x2+(k x1-2) (kx2-2) 0 x1x2+k2 x1x2-2k(x1+x2)+40 k 24（广东省六校2014届高三第一次联考理科数学试题）如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为，直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，与椭圆交于点.（1）若是的中点，求证：.（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围.【答案】（1）证:由题意得， 又点在椭圆上，且在轴上方，得 3分6分（2）解:（方法一）设，其中圆过三点，圆心在线段的中垂线上设圆心为，半径为，有，
14、 10分，当且仅当即时取“=”.的取值范围是 14分（方法二）解：设，其中，圆过三点，设该圆的方程为，有 解得 圆心为半径， 10分，当且仅当即时取“=”，的取值范围是. 14分25（广东省深圳市高级中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.()求实数b的值;()求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想,满分12分. 解:(I)由,(*) 因为直线与抛物线C相切,所以解得b=-1. (II)由(I)可知, 解得x=2,
15、代入故点A(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切, 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即 所以圆A的方程为 26（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）在平面直角坐标系中,点为动点,分别为椭圆的左右焦点.已知为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率;(2)设直线与椭圆相交于两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程.BOxyF1F2PAM【答案】解:(1)设, 由题意,可得,即, 整理得,得(舍)或,所以 (2)由(1)知,可得椭圆方程为. 直线方程为 两点的坐标满足方程组,消去y并整理得 解得得方程组的解 不妨设,设的坐标为则 , 由得. 于是 由得, 化简
16、得, 将代入得, 由得.因此,点的轨迹方程是 27（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且F1B1F2为的菱形的四个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点F2 ,斜率为()的直线与椭圆相交于两点,A为椭圆的右顶点,直线,分别交直线 于点,线段的中点为,记直线的斜率为.求证:为定值.【答案】 28（广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试数学理试题）已知椭圆的左、右焦点分别为、,P为椭圆 上任意一点,且的最小值为.(1)求椭圆的方程;(2)动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点,当为何值时,矩形ABCD的面积取得
17、最大值?并求出其最大面积.【答案】(1)因为P是椭圆上一点,所以. 在中,由余弦定理得 . 因为,当且仅当时等号成立. 因为,所以. 因为的最小值为,所以,解得. 又,所以.所以椭圆C的方程为. (2)设,则矩形ABCD的面积. 因为,所以. 所以. 因为且,所以当时,取得最大值24. 此时,. 所以当时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为. 29（广东省揭阳一中等2014届高三上学期开学摸底联考数学理试题 ）已知圆的圆心为,半径为,圆与椭圆:有一个公共点(3,1),分别是椭圆的左、右焦点.(1)求圆的标准方程;(2)若点P的坐标为(4,4),试探究斜率为k的直线与圆能否相切,若能,求出椭圆和
18、直线的方程;若不能,请说明理由.【答案】解:(1)由已知可设圆C的方程为 将点A的坐标代入圆C的方程,得 , 即,解得 ,圆C的方程为 (2)依题意,可得直线的方程为,即 若直线与圆C相切,则 ,解得 当时,直线与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去; 当时,直线与x轴的交点横坐标为, , 由椭圆的定义得, ,即, , 直线能与圆C相切,直线的方程为,椭圆E的方程为 30（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）如图所示,椭圆的离心率为,且A(0,2)是椭圆C的顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A作斜率为1的直线,设以椭圆C的右焦点F为抛物线的焦点,若点M为抛物线E上任意一点
19、,求点M到直线距离的最小值.【答案】解:(1)由题意可知, ,即 所以椭圆C的方程为: (2)解法一:由(1)可求得椭圆C的右焦点F坐标(1,0) 抛物线E的方程为:,而直线的方程为 设动点M为,则点M到直线的距离为 即抛物线E上的点到直线距离的最小值为 解法二:由(1)可求得椭圆C的右焦点F坐标(1,0) 抛物线E的方程为:,而直线的方程为 可设与直线平行且抛物线E相切的直线方程为: 由可得: , 解得:C=1 直线方程为: 抛物线上的点到直线的距离的最小值等于直线与的距离: 31（广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题）(本小题满分分)已知椭圆:的长轴长为4,且过点.(1)
20、求椭圆的方程;(2)设、是椭圆上的三点,若,点为线段的中点,、两点的坐标分别为、,求证:.【答案】解:(1)由已知, 解得 椭圆的方程为 (2)设,则, 由, 得,即 是椭圆上一点,所以 , 即 得,故 又线段的中点的坐标为, , 线段的中点在椭圆上 椭圆的两焦点恰为, 32（2013-2014学年广东省（宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）已知椭圆的中心在原点,离心率,右焦点为.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的上顶点为,在椭圆上是否存在点,使得向量与共线?若存在,求直线的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:(1)设椭圆的方程为, 离心率,右焦点为, 故椭圆的方程为 (2)假设椭圆
21、上存在点(),使得向量与共线, , (1) 又点()在椭圆上, (2) 由(1)、(2)组成方程组解得:,或, 当点的坐标为时,直线的方程为, 当点的坐标为时,直线的方程为, 故直线的方程为或 33（广东省十校2014届高三上学期第一次联考数学理试题）如图,已知椭圆:的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆:,设圆与椭圆交于点与点.(1)求椭圆的方程;(2)求的最小值,并求此时圆的方程;(3)设点是椭圆上异于,的任意一点,且直线分别与轴交于点,为坐标原点,求证:为定值.【答案】解:(1)依题意,得,; 故椭圆的方程为 (2)方法一:点与点关于轴对称,设, 不妨设. 由于点在椭圆上,所以. (*)
22、由已知,则, 由于,故当时,取得最小值为. 由(*)式,故,又点在圆上,代入圆的方程得到. 故圆的方程为: 方法二:点与点关于轴对称,故设, 不妨设,由已知,则 故当时,取得最小值为,此时, 又点在圆上,代入圆的方程得到. 故圆的方程为: (3) 方法一:设,则直线的方程为:, 令,得, 同理:, 故 (*) 又点与点在椭圆上,故, 代入(*)式,得: . 所以为定值 方法二:设,不妨设,其中.则直线的方程为:, 令,得, 同理:, 故. 所以为定值 34（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题）已知点的坐标分别是、,直线相交于点,且它们的斜率之积为.(1)求点轨迹的方程;(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点,试求面积的取值范围(为坐标原点).【答案】解:(1)设点的坐标为, , 整理,得,这就是动点的轨迹方程 (2)由题意知直线的斜率存在,设的方程为 将代入得: 由,解得 设,则 令,所以 所以 所以