1、 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题1.已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.解析(3，4)，|5，.故选A.答案A2.在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，2)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2(2，3)解析法一若e1(0，0)，e2(1，2)，则e1e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1(1，2)，e2(5，2)，因为，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a(3，2)表示出来，故选B.法二因为a(3，2
2、)，若e1(0，0)，e2(1，2)，不存在实数，使得ae1e2，排除A；若e1(1，2)，e2(5，2)，设存在实数，使得ae1e2，则(3，2)(5，22)，所以解得所以a2e1e2，故选B.答案B3.如图，已知AB是圆O的直径，点C、D等分，已知a，b，则等于()A.abB.abC.ab D.ab解析连接OC、OD、CD，则OAC与OCD为全等的等边三角形，所以四边形OACD为平行四边形，所以ab，故选D.答案D4.设x，yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B. C.2 D.10解析因为ac，bc，所以有2x40且2y40，解得x2，y2
3、，即a(2，1)，b(1，2)，所以ab(3，1)，|ab|，选B.答案B5.设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则a，b的夹角为()A.150 B.120 C.60 D.30解析设|a|m(m0)，a，b的夹角为，由题设知(ab)2c2，即2m22m2cos m2，得cos .又0180，所以120，即a，b的夹角为120，故选B.答案B6.如图，|1，|，0，点C在AOB内，且AOC30，设mn(m，nR)，则等于()A. B.3 C. D.解析|1，|，0，OAOB，且OBC30.又AOC30，.(mn)()0，m2n20，3nm0，即m3n，3.答案B7.已知点O为ABC所
4、在平面内一点，且222222，则O一定为ABC的()A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心解析22222222()()()()()()()020.同理.所以O为ABC的垂心.答案A8.已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则()A. B. C. D.解析如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，1)，B(，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得(1)(，1)，(1)(，1).因为，所以3(1)(1)(1)(1)，即(1)(1).因为(，1).(，1)，又1，所以(1)(1)2.由整
5、理得.选C.答案C二、填空题9.如图，在ABC中，2，设xy，则x_，y_.解析因为，2，所以().答案10.设向量a(1，2m)，b(m1，1)，c(2，m)，若(ac)b，则|a|_.解析ac(3，3m)，(ac)b3(m1)3m0m|a|.答案11.已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_.解析由(a2b)(ab)6得a22b2ab6.|a|1，|b|2，1222212cosa，b6，cosa，b.a，b0，a，b.答案12.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_.解析以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示
6、.则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，设E(1，a)(0a1).所以(1，a)(1，0)1，(1，a)(0，1)a1，故的最大值为1.答案1113.已知ABC的三边长AC3，BC4，AB5，P为AB边上任意一点，则()的最大值为_，此时P与_重合.解析以C为原点，建立平面直角坐标系如图，则()(x，y)(0，3)3y，当y3时，取得最大值9，此时P与A重合.答案9A14.已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析bc0，bta(1t)b0，tab(1t)b20，又|a|b|1，a，b60，t1t0，t2.答案215.已知ABC的面积为12
7、，P是ABC所在平面上的一点，满足23，则ABP的面积为_.解析由23得23()，所以42()0，所以2.由此可得PA与CB平行且|CB|2|PA|，故ABP的面积为ABC的面积的一半.答案6三、解答题16.设向量(3，1)，(1，2)，且，试求向量的坐标.解设向量(x，y)，则(x，y)(1，2)(x1，y2).因为，所以0(x，y)(1，2)0x2y0.因为，所以x13(y2)0x3y70.由，得从而(14，7).17.已知(1，0)，(0，1)，(t，t)(tR)，O是坐标原点.(1)若A，B，M三点共线，求t的值；(2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值.解(1)(1，1)，(t1
8、，t).A，B，M三点共线，与共线，t(t1)0，t.(2)(1t，t)，(t，1t)，2t22t2，当t时，取得最小值，最小值为.18.已知a，b，c在同一平面内，且a(1，2).(1)若|c|2，且ca，求c；(2)若|b|，且(a2b)(2ab)，求a与b的夹角.解(1)ca，设ca，则c(，2).又|c|2，2，c(2，4)或(2，4).(2)(2ab)，(a2b)(2ab)0.|a|，|b|，ab.cos 1，又0，180，180.19.设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB，求的取值范围.解设该圆的圆心为O，因为()1，所以与共线时，能取得最值，若与同向，则取得最大值，此时取得
9、最大值1，若与反向，则取得最小值，此时取得最小值1，的取值范围是.20.已知O(0，0)，A(2，0)，B(0，2)，C(cos ，sin )，且0.(1)若|，求与的夹角；(2)若，求tan 的值.解(1)因为(2cos ，sin )，|，所以(2cos )2sin27.所以cos .又(0，)，所以，即AOC.又0，AOB，所以与的夹角为.(2)(cos 2，sin )，(cos ，sin 2)，因为，所以0，即cos sin .所以(cos sin )2.所以2sin cos .因为(0，)，所以.又(cos sin )212sin cos ，cos sin 0，所以cos sin .由得cos ，sin ，从而tan .