1、第三节平面向量的数量积及应用举例 最新考纲考情分析核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.数学运算知识梳理1平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量
2、|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos_叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积2.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是0180若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直常用结论两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，n0，则由2，得(n，0)(m2，m)2(n，0)(m，m)，所以n(
3、m2)2nm，化简得m2.故(m，m)(m2，m)2m22m12.答案：12名师点津求非零向量a，b的数量积的3种方法直接法若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算几何法根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直命题角度一平面向量的模【例1】(1)(2019届昆明调研)已知向量
4、a(1，2)，b(1，3)，则|2ab|()AB2CD10(2)(2019届长春质检)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|b|1，|c|3，则|abc|_解析(1)a(1，2)，2a(2，4)b(1，3)，2ab(3，1)，|2ab|，故选C(2)由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|abc|2a2b2c22ab2bc2ac119211cos 213cos 213cos 4，所以|abc|2.答案(1)C(2)2命题角度二平面向量的夹角【例2】(1)(2019年全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()ABC
5、D(2)(2019年全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_解析(1)设a与b的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a|b|cos |b|2.又|a|2|b|，cos .0，.故选B(2)由题意可设a(1，0)，b(0，1)，则c(2，)，所以cosa，c.答案(1)B(2)命题角度三平面向量的垂直【例3】(1)若平面四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是()A直角梯形B矩形C菱形D正方形(2)(2020届四川五校联考)已知a(2，1)，b(，1)，若ab，则_解析(1)由0得平面四边形ABCD是平行四边形，由()0得0，故平行四边形的对角线垂直，
6、所以该四边形一定是菱形，故选C(2)因为ab，所以ab0，即2(1)10，解得.答案(1)C(2)名师点津平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.|跟踪训练|1(2019年全国卷)已知向量a(2，3)，b(3，2)，则|ab|()AB2C5D50解析：选A依题意得ab(1，1)，|ab|，故选A2(2019年北京卷)已知向量a(4，3)，b(6，m)，且ab，则m_解析：因为
7、ab，所以ab0，即463m0，解得m8.答案：83(2019年全国卷)已知向量a(2，2)，b(8，6)，则cosa，b_解析：cosa，b.答案：平面向量的数量积常与最值、范围问题相结合创新考点该类题目能力要求较高，难度大，有一定的综合性【例】(1)(2019届武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且，则()()的最大值是()A1B1C1D1(2)如图，在平面四边形ABCD中，|，2，2，|2，若F为线段DE上的动点，则的最小值为()A1B2C4D3解析(1)如图，作出，使得.，0，()()21()1.由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为，此时
8、()()取得最大值，最大值为1，故选A(2)由|，得ABBC由2，得BCAD，则ADAB又2，|2，所以AB3，BCBE2，ADAE1.以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，3)，C(2，0)，B(0，0)，D(1，3)，E(0，2)，所以DE所在的直线方程为yx2.设F(x，y)(0x1)，则(x，y)，(x2，y)，所以x(x2)y2x22x(x2)22x22x4.因为0x1，所以当x0时，取得最小值4.故选C答案(1)A(2)C名师点津平面向量中有关最值、范围问题的2种解题思路(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的
9、最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决|跟踪训练|在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|，则的取值范围为_解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为xy20(0x2)由题意可设M(a，2a)，N(a1，1a)(由题意可知0a1)，(a，2a)，(a1，1a)，a(a1)(2a)(1a)2a22a22.0a1，.答案：