1、第二节函数的单调性与最值最新考纲考情分析核心素养1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用，其中函数单调性的应用仍将是2021年高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题，分值为10分左右.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算知识梳理1函数的单调性单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就
2、说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述常用结论(1)函数单调性的两种等价形式设任意x1，x2a，b且x10f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(3)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数(4)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反(5)函数fg(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x
3、I，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性()(3)若定义在R上的函数f(x)有f(1)0，得x4或x2.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)故选D2函数f(x)|x23x
4、2|的单调递增区间是()AB和2，)C(，1和D和2，)解析：选B(图象法)y|x23x2|如图所示，函数的单调递增区间是和2，)故选B3判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1，2上的单调性解：解法一(定义法)：函数f(x)ax2(1a3)在1，2上单调递增证明如下：设x1，x2是1，2上任意两个实数，且x1x2，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x10，2x1x24，1x1x24，1.又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1，3)时，f(x)在1，2上单调递增解法二(导数法)：因为f(x)2ax，又因为1x2，
5、所以1x38.又1a0，所以f(x)0，所以函数f(x)ax2(其中1ax11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac解析因为f(x)的图象关于直线x1对称，所以ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12ff(e)，bac.答案D名师点津比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解命题角度二解函数不等式【例2】已知函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，若f(a2a)f(a3)，则实数a
6、的取值范围为_解析由已知，可得解得3a3，所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)答案(3，1)(3，)名师点津在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域命题角度三利用单调性求参数的取值范围【例3】(2019届山东济宁模拟)若函数f(x)(a0且a1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是_解析因为函数f(x)(a0且a1)在R上单调递减，所以acbBbcaCbacDabc解析：选B易知f(x)为偶函数，因为af(log3)f(log23)f(log23)，且log23，021.221.20.又f(x)在区间(，
7、0)内单调递增，且f(x)为偶函数，所以f(x)在区间(0，)内单调递减，所以f(log3)fca.故选B2(2019届河北武邑期中)若函数ylog(x2ax3a)在区间(2，)上是减函数，则a的取值范围为()A(，4)2，)B(4，4C4，4)D4，4解析：选D令tx2ax3a，则ylogt，易知tx2ax3a在上单调递减，在上单调递增ylog(x2ax3a)在区间(2，)上是减函数，tx2ax3a在(2，)上是增函数，且在(2，)上满足t0，2，且42a3a0，a4，4故选D【例4】求下列函数的值域：(1)y，x3，1；(2)y2x；(3)yx4；(4)y；(5)ylog3xlogx31.
8、解(1)由y，可得y.3x1，y3，即y.(2)(代数换元法)令t(t0)，则x.yt2t1(t0)当t，即x时，y取最大值，ymax，又此抛物线开口向下，函数的值域为.(3)(三角换元法)令x3cos ，0，则y3cos 43sin 3sin4.0，sin1.1y34，函数的值域为1，34(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx22yx3y2x24x7，整理，得(y2)x22(y2)x3y70.显然y2(运用判别式法之前，应先讨论x2的系数)将上式看作关于x的一元二次方程易知原函数的定义域为R，则上述关于x的一元二次方程有实根，2(y2)24(y2)(3y7)0.解不等式得y2
9、.又y2，原函数的值域为.(5)将ylog3xlogx31变形，得ylog3x1.当log3x0，即x1时，ylog3x1211，当且仅当log3x1，即x3时取“”当log3x0，即0x0时，f(x)x2 4，当且仅当x2时取等号；当x0时，f(x)2xa(a，1a，因此要使f(x)有最小值，则必须有a4，故选B4函数yx的最小值为_解析：解法一(换元法)：令t，且t0，则xt21，所以原函数变为yt21t，t0.配方，得y，又因为t0，所以y1，故函数yx的最小值为1.解法二：因为函数yx和y在定义域内均为增函数，故函数yx在1，)内为增函数，所以ymin1.答案：1【例】(2019届武汉
10、市模拟)若存在正实数a，b，使得xR，有f(xa)f(x)b恒成立，则称f(x)为“限增函数”给出以下三个函数：f(x)x2x1；f(x)；f(x)sin x2，其中是“限增函数”的是()ABCD解析对于，若f(xa)f(x)b，即(xa)2(xa)1x2x1b，整理得2axa2ab，即x对一切xR恒成立，显然不存在这样的正实数a，b.对于，f(x)，即b，整理得|xa|x|b22b，而|xa|x|a，由|x|a|x|b22b，则，显然，当ab2时式子恒成立，故原不等式|xa|x|b22b恒成立，f(x)是“限增函数”对于，f(x)sin x2，1f(x)sin x21，故f(xa)f(x)2
11、，当b2时，对于任意的正实数a，f(xa)f(x)b恒成立，f(x)sin x2是“限增函数”，故选B答案B名师点津求解此类问题的思路(1)明确单调性的新定义(2)结合题目条件把要求问题转化为易处理的问题(3)求解问题，得出结论|跟踪训练|设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有xkD，且f(xk)f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)|xa|2a，若f(x)为R上的“2 014型增函数”，则实数a的取值范围是_解析：(图象法)由题意得，当x0时，f(x)当a0时，函数f(x)的图象如图所示，考虑极大值f(a)2a，令x3a2a，得x5a.所以只需满足5a(a)6a2 014，即0a.当ax，所以满足f(x2 014)f(x)综上可知，实数a的取值范围是a.答案：