1、学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1(2014浙江高考改编)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的序号是_(1)若mn，n，则m；(2)若m，则m；(3)若m，n，n，则m；(4)若mn，n，则m.【解析】(1)中，由mn，n可得m或m与相交或m，错误；(2)中，由m，可得m或m与相交或m，错误；(3)中，由m，n可得mn，又n，所以m，正确；(4)中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误【答案】(3)2如图1298，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为_图1298【解析】如图，取BD中点O，连结OC，
2、OC1，ABAD2，COBD，CO.CDBC，C1DC1B，C1OBD.C1OC为二面角C1BDC的平面角，tanC1OC，C1OC30，即二面角C1BDC的大小为30.【答案】303下列四个命题：过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内其中真命题的序号是_. 【导学号：60420033】【解析】根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故正确；过平面外一点有无数条直线与该平面
3、平行，故不正确；根据平面与平面平行的性质定理知正确；根据两个平面垂直的性质知正确从而正确的命题有.【答案】4如图1299所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为_图1299【解析】PA平面ABC，BA，CA平面ABC，BAPA，CAPA，因此，BAC即为二面角BPAC的平面角又BAC90，故二面角BPAC的大小为90.【答案】905已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则二面角DBCA的大小为_【解析】如图，由题意知ABACBDCD，BCAD2.取BC的中点E，连结DE，AE，则AEBC，DEBC，所以DEA为所求二面角的平面角易得A
4、EDE，又AD2，AD2AE2DE2，所以DEA90.【答案】906如图12100所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时BAC60，那么这个二面角大小是_图12100【解析】连结BC，则ABC为等边三角形，设ADa，则BCACa，BDDCa，所以BC2BD2DC2，所以BDC90.【答案】907四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有_对【解析】因为ADAB，ADPA且PAABA，可得AD平面PAB.同理可得BC平面PAB、AB平面PAD、CD平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD平面PAB，平面PB
5、C平面PAB，平面PCD平面PAD，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，共有5对【答案】58已知平面，且AB，PC，PD，C，D是垂足若PCPD1，CD，则平面与平面的位置关系是_【解析】因为PC，AB，所以PCAB.同理PDAB.又PCPDP，故AB平面PCD.设AB与平面PCD的交点为H，连结CH，DH.因为AB平面PCD，所以ABCH，ABDH，所以CHD是二面角CABD的平面角又PCPD1，CD，所以CD2PC2PD22，即CPD90.在平面四边形PCHD中，PCHPDHCPD90，所以CHD90，故平面平面.【答案】垂直二、解答题9.如图12101，在底面为直角梯形的四棱
6、锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，ACBDE，AD2，AB2，BC6.图12101求证：平面PBD平面PAC.【证明】PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tanABD，tanBAC，ABD30，BAC60，AEB90，即BDAC.又PAACA，BD平面PAC.又BD平面PBD，平面PBD平面PAC.10如图12102，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点图12102 (1)求证：平面MNF平面NEF；(2)求二面角MEFN的平面角的正切值【解】(1)证明：连结MN，N，F均为所在棱的中点，NF平面A1
7、B1C1D1.而MN平面A1B1C1D1，NFMN.又M，E均为所在棱的中点，C1MN和B1NE均为等腰直角三角形，MNC1B1NE45，MNE90，MNNE.又NFNEN，MN平面NEF.而MN平面MNF，平面MNF平面NEF.(2)在平面NEF中，过点N作NGEF于点G，连结MG.由(1)得知MN平面NEF.又EF平面NEF，MNEF.又MNNGN，EF平面MNG，EFMG.MGN为二面角MEFN的平面角设该正方体的棱长为2.在RtNEF中，NG，在RtMNG中，tanMGN.二面角MEFN的平面角的正切值为.能力提升1已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出下列四个
8、论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.【解析】由面面垂直的判定定理可知，由mn，m，n可推出；由面面垂直的性质定理可知，由m，n，可推出mn.【答案】(或)2如图12103，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC.底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF. 【导学号：60420034】图12103【解析】B1D平面A1ACC1，CFB1D，为了使CF平面B1DF，只要使CFDF(或CFB1F)即可，设AFx，则CD2DF2FC2，x23a
9、x2a20，xa或x2a.【答案】a或2a3如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的_心【解析】三侧面两两垂直， 则三条侧棱也两两垂直，PC平面PAB，ABPC，作PO平面ABC于点O，则ABPO，AB平面POC，ABOC，同理，OBAC，O为ABC的垂心【答案】垂4如图12104，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.图12104 (1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB；(3)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的
10、结论【证明】(1)在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)如图，连结PG.PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD.由(1)知BGAD，又PG平面PGB，BG平面PGB，且PGBGG，AD平面PGB.PB平面PGB，ADPB.(3)当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD.证明如下：F为PC的中点时，在PBC中，FEPB，又在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，FEDEE，平面DEF平面PGB.易知PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD，平面DEF平面ABCD.