1、“至多”“至少”选取的概率【例1】在一只袋子中装有4个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，试求：(1)取得两个绿球的概率；(2)至少取得一个红球的概率 1234,12312132123313243.767642“”()()()()1()()661.427“2”aaaabbbAAbbbbbbbbbbbbP ABBA记 个红玻璃球为，个绿玻璃球为，第一次抽取有 种结果，对第一次抽取的每种结果，第二次抽取时又有种结果，故共有种结果记 取得两个绿球 为事件，则 有，种可能，所以记 至少取得一个红球 为事件，则事件 是事【解】件析的对立事 1611.77P BP A件所以 从
2、袋中取球问题是概率中的重要题型，通过枚举法或画树形图找出随机事件的结果的个数，利用等可能性事件求出概率，再通过互斥事件的概率加法公式达到求解的目的在求解时，要注意灵活运用公式【变式练习1】经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04【解析】记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人排队等候”为事件F.则事件A、B、C、D、E、F互斥(1)
3、记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.互斥事件的概率【例2】小张在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算小张在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)射中不够8环的概率【解析】记“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则(1)射中10环或
4、9环的概率为P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52；(2)射中不够8环的概率为P(DE)P(D)P(E)0.160.130.29.要注意理解各个事件之间的关系，分清哪些是互斥的，哪些不互斥在将一个事件拆分为n个互斥事件时，要做到不重不漏【变式练习2】高一军训时，某同学射击1次，命中10环，9 环，8 环 的 概 率 分 别 是0.13,0.28,0.31.求：(1)射击1次，至少命中8环的概率；(2)射击1次，命中不足9环的概率 10981098109810981(10)(0,1,210)0.130.280.31.“18?()0.130.280.310.72.“119?2kkkAk
5、kA kP AP AP ABA AABP BP AAAP AP AP AN设事件 射击 次，命中 环 为事件且且事件，两两互斥由题意知，记 射击 次，至少命中 环 的事件为，那么当或之一发生时，事件 就发生，故 射击 次命中不足【析】环解的事件 109“1910?.1(110.410.59.AAP AP AP AP A是 射击 次命中 环或环 的对立事件故 互斥事件及应用【例3】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球从中随机取出1个球求：(1)取出的1个球是红球或黑球的概率；(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率 12121545491212931.124121
6、54254211.1212121PP从个球中任取 球得红球有种取法，得黑球有 种取法，则得红球或黑球共有 种不同取法又从个球中任取一个球，共有种取法，所以任取 球得红球或黑球的概率为 从个球中任取 球得红球有 种取法，得黑球有 种取法，得白球有 种取法，从而得红球或黑球或白方法：球的概率为【解析】1234123412341212()11115421.121212121543().121122412AAAAP AP AP AP AAAAAP AAP AP A利用互斥事件求概率记事件 任取 球为红球；任取 球为黑球；任取 球为白球；任取 球为绿球，则，根据题意知，事件，彼此互斥由互斥事件的概率加法
7、公式，得取出 球方法：为红球或黑球的概率为取出 球为红球或黑球或白球的概12312354211().12121212P AAAP AP AP A率为 解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一个公式，不要由于乱套公式而导致出错同时，要注意分类讨论和等价转化两种数学思想和方法的运用12135125.12袋中有个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球【变式或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各练习3】是多少？“”“”“”“”5()125()()12121111P(C)=
8、33461.41 1 1.4 6 4ABCDP BCP BP CP CDP CP DP BCDP AP BP D从袋中任取一球，记事件 得到红球、得到黑球、得到黄球、得到绿球 分别为、，则有；，解得，答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概【率分别是、解析】1.某人在打靶中，连续射击3次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是3次都不中靶，该互斥事件是对立事件吗？答 _(是，否)是 2.掷一枚骰子，设事件A表示事件“出现3点”，事件B表示事件“出现偶数点”，则P(AB)等于_ 11P(B)=.622().3P AABP ABP AP B由题意，知，又事件 与事件 是互斥事件，故【解析】233.某城市有
9、甲，乙两种报纸供居民订阅，记事件A“只订甲报”，事件B“至少订一种报”，事件C“至多订一种报”，事件D“不订甲报”，事件E“一种报都不订”，则下列5对事件中，是互斥事件的是_，是对立事件的是_.A与C；B与E；B与D；B与C；C与E 【解析】A与C不是互斥事件；B与E是对立事件；B与D不是互斥事件；B与C不是互斥事件；C与E不是互斥事件 4.521()41()41()2()ABCD如果从不包括大小王的张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心 事件的概率是，取到方块 事件的概率是，问：取到红色牌 事件的概率是多少？取到黑色牌 事件的概率是多少？()()1.2()()1121.2ABABCABP CP
10、 AP BCDCDCDP DP C因为取到红心 事件与取到方块 事件不能同时发生，所以事件 与事件 是互斥事件，且有 ，所以因为取一张牌时，取到红色牌 事件与取到黑色牌 事件不可能同时发生，所以事件与事件 是互斥事件又由于两者中必有一个发生，所以事件 与事件 是对立事件，【所以 解析】5.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不足 1小时的部分按 1 小时计算)有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时
11、还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率【解析】(1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件 A、B，则 P(A)1141214，P(B)1121414.答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14.(2)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元为事件 C，则 P(C)(1412)(14141212)(121414121414)34.答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率为34.11()P AP A求复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：直接求解法，即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式 若解决 至多、至少 型的题目，用后一种方法就显得比一是二是较方便2解题时注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系，搞清楚“互斥事件”与“等可能性事件”的差异
