1、2.1 等式性质与不等式性质 1.梳理等式的性质,理解不等式的概念.2.掌握不等式的性质.3.能够利用不等式的性质解决有关问题.1.两个实数比较大小的方法 作差法 作商法 a-b0 1(aR,b0)注意作商法与作差法使用条件的区别 ab a-b=0 =1(a,b0)a=b a-b0 0)ab a=b a0,实质是要求要比较的两个数(式)均为正数,在此条件下才能由1推出ab.这是因为当a,b1应推得ab0 (nN,n2).bc a+cb+c acbc acb+d acbd anbn(nN,n2)必要不充分条件微思考：是2 2的什么条件？(1)对称性:ab .(2)传递性:ab,bc .(3)可加
2、性:ab .(4)可乘性:ab,c0 ;ab,cb,cd .(6)同向同正可乘性:ab0,cd0 .(7)同正可乘方性:ab0 .微思考对于非零实数a,b,如果ab,是否一定有?1 b0 时,一定有1 ab 时,也一定有1 0b 时,应有1 1.常用结论 1.倒数法则:若 ab,ab0,则有1 1.2.倒数性质:若 0axb 或 axb0,则有1 1 b0,m0,则 -(b-m0).4.若 ab0,m0,则 +,0).1.已知克糖水中含有克糖（0)，再添加克糖（0）（假设全部溶解），糖水变甜了。请将这一事实表示 0,q0,其前n项和为Sn,则的大小关系为 .33与55(2)已知 ,且a=cos
3、 2,b=cos-sin,则a与b的大小关系为 .0,4 (3)若 a=12ln 2,b=23(ln 3-ln 2),c=34(ln 4-ln 3),则()A.abcB.cba C.acb D.bac 解析(1)当 q=1 时,33=333=3,55=555=5,所以33 0 且 q1 时,33 55=1(1-3)12(1-)1(1-5)14(1-)=-+14 0,所以33 55.综上,33 与 55的大小关系为33 0,且 cos sin,所以 b0.而=cos2cos-sin=cos2-sin2cos-sin=cos+sin=2sin +4,由于 0,4,所以+4 4,2,故 sin +4
4、 22,1,2sin +4(1,2),即1,故必有ab.(3)因为 a=12ln 2=ln22,b=23(ln 3-ln 2)=ln3232,c=34(ln 4-ln 3)=ln4343,所以令 f(x)=ln,则f(x)=1-ln2,当 0 x0,因此 f(x)在(0,e)上单调递增.又因为a=f(2),b=f 32,c=f 43,所以 abc.方法总结 对点训练 1 若 m=3-2 2,n=2 2 7,则 m,n 的大小关系为 .解析 因为 m=3-2 2=13+2 2,n=2 2 7=12 2+7,显然 3+2 22 2+7,所以 m1(+1)3 解析：由1(+1)2 1(+1)3知 m
5、+10,所以(m+1)40,于是有(m+1)2m+1,即m2+m0,解得 m0 或 mb0,c B.若 a0,b0,c0,则 +C.若 ab0,则+2-1,b0,a+2b=2,则 1+1+2的最小值为 3解析 对于 A,因为 ab0,所以1 10.又因为 c0,所以 b 时,(-)(+)0,即 +,故 B 错误;对于C,因为 ab0,所以+22-+22=+2 4+2=-(-)240,所以+21b-1,则下列不等式恒成立的是()A.1 1C.ab2D.a22b 解析(1)取 a=2,b=-12,满足 a1b-1,但1 1,故 A 错误;取 a=2,b=13,满足a1b-1,但1 1b-1,但 a
6、22b,故 D 错误.故选 C.(2)(多选)已知实数a,b,下列说法一定正确的是()A.若 ab,则 27 b 27 aa1,则 logaba0,b0,a+2b=1,则2+1的最小值为 8D.若 ba0,则1+2 1+2(2)对于 A,当 a=0 时,27 a=37 a,A 不符合题意;对于 B,若 ba1,则 1a,两边取对数得 logaba0,b0,a+2b=1,则2+1=2+1(a+2b)=4+4+4+2 4 =8,当且仅当4=,即 a=2b=12时,等号成立,C 符合题意;对于 D,取 a=1,b=2,1+2=24=12 1+2=1+21=3,D 不符合题意.考向2.利用不等式的性质
7、求代数式的取值范围 例3.(1)已知2a6,-3b2,试求a-2b,ab2的取值范围;解(1)因为2a6,-3b2,所以-4-2b6,于是-2a-2b12.故a-2b的取值范围为(-2,12).因为 2a6,所以16 1 12.当-3b0 时,0-b3,因此 0-32,于是-32 0;当 b=0 时,=0;当 0b2 时,01.综上,的取值范围为 32,1.由于2a6,-3b2,所以0b29,所以0ab254.故ab2的取值范围为0,54).设4x+y=a(x+2y)+b(2x-3y)(a,bR),则a+2b=4,2a-3b=1,解得a=2,b=1,因此4x+y=2(x+2y)+(2x-3y)
8、.由于-1x+2y4,22x-3y3,所以02(x+2y)+(2x-3y)11,即04x+y11,故4x+y的取值范围是(0,11).例3.(2)已知-1x+2y4,22x-3y3,试求4x+y的取值范围.名师点析根据不等式的性质求取值范围的策略(1)严格运用不等式的性质,注意其成立的条件.(2)同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围.(3)建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.对点训练3(1)(已知2ba-b,则的取值范围为.(2)已知Sn是等差数列an的前n项和,若S24,S416,则a5的最大值是
9、 .解析(1)因为 2ba-b,所以 2b-b,所以 b0,10.将不等式 2ba-b 同乘以1,则-2,即-1b),先称得的黄金的实际质量为m1,后称得的黄金的实际质量为m2.由杠杆的平衡原理得,bm1=5a,am2=5b,解得 m1=5,m2=5,则 m1+m2=5+5.因为(m1+m2)-10=5+5-10=5(-)2,ab,所以5(-)2 0,即 m1+m210.这样可知称出的黄金质量大于 10 g,故选 A.名师点析不等式实际应用问题的解题技巧(1)阅读理解题意,发现其中的不等关系.(2)运用不等号、不等式等表示量与量的不等关系,建立不等式(组).(3)运用不等式的性质比较大小或得到
10、变量的取值范围.对点训练4某市为了支援边远山区的教育事业,组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教,记者采访队长时询问这个团队的构成情况,队长回答:“(1)有中学高级教师;(2)中学教师不多于小学教师;(3)小学高级教师少于中学中级教师;(4)小学中级教师少于小学高级教师;(5)支教队伍的学段及职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级;(6)无论是否把我计算在内,以上条件都成立.”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是 .解析 设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级教师人数分别为a,b,c,d,则有a+b+c+d=13,d1,c+da+b,bc,ab,13-(a+b)a+b,a+b7,c+d6.若a+b=7,则c+d=6,ab,a=3,b=4,c=5,d=1.若a+b8,则c+d5,d1,c4,又bb矛盾.当队长为小学中级时,去掉队长,则a=2,b=4,c=5,d=1,满足题意;队长为小学高级时,去掉队长,则a=3,b=3,c=5,d=1,不满足ab;队长为中学中级时,去掉队长,则a=3,b=4,c=4,d=1,不满足bc;队长为中学高级时,去掉队长,则a=3,b=4,c=5,d=0,不满足d1.综上可得,队长为小学中级.