1、综合法的应用222.abcabcabcbca已知，都是正数，求证：【】例1222222222222222.abcabcbacbacbcaabcabcabcbcaabcabcbca因为，都是正数，所以，三式相加得 ，即【】证明22 ababbb 综证题从条发结为条获问题终结题证从条项，这样结论关这题关键 合法，是已知的件出，把每一步的果作件，直到得的最果本明件中，想到只要填就可由用到基本不等式，便与有，是突破本的1111(1)(1)(1)18.abcabcabcR已知，且 ，求证：【变式练习】111(1)(1)(1)22288abcbc ac ababcbcacababcabcabcabc 【证
2、，当且仅当 时等号成立所以不等明】式成立分析法的应用2222xycxyyxxycxyxyyx是否存在常数，使得不等式对任意的正整数、恒成立？证明你【例2】的结论*222221.3332.22322233(2)3(2)2(2)(2)22223xyccxyxyyxxyxyxyyxx xyy yxxyyxxyxyxyxyyxN当 时，有，则 先证因为，故要证，只需证，即，显然成立，所【以解析】；2222233(2)3(2)2(2)(2)22.223232222xyxyyxxxyy xyxyyxxyxyxyxyyxcxxyxyycxyyxxyyx再证，只需证，即，显然成立，所以综上所述，存在常数 ，使
3、对任意的正整数、，不等式恒成立本题主要考查用分析法证明不等式及分析问题、解决问题的能力此题是一个开放性问题，寻找常数c需要根据题目条件，观察问题的特点，确定c的值，这是解决此类问题的关键；其次由于不等式的结构复杂，从已知入手，非常困难，采用分析法，化繁为简，顺利找到不等式成立的必要条件当要证的不等式较为复杂，已知与待证间的联系不明显时，一般采用分析法22211022.aaaaa【变式练习】已知，证明：2222222211221122.011(2)(2)aaaaaaaaaaaaa要证 ，只要证+因【为，所以只要证+证明】，2222222222222211114442 2()11212.12112
4、2aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa即证 ，只需证，即证 而，由基本不等式可知成立所以 得证反证法的应用22222223360.abcaxybyzczxabc若、都是实数，且 ，求证：、中至少有一个大【于例】2222222220000(2)(2)(2)236(1)(1)(1)3.30(1)(1)(1)0000.abcabcabcxyyzzxxyzxyzabcabcabc使用反证法：若、都不大于，即，则 因为，所以 ，与 矛盾因此【证明】，假设不成立故、中至少有一个大于反证法是间接证法中的一种重要方法，体现了同一问题的另一种研究方法当问题处于“否定性”“唯一性”或“无限性”背景时，往往会出
5、现“至多”“至少”或“全都”等词，这类命题一般都采用反证法【变式练习3】求证：三条抛物线ycx22axb，yax22bxc，ybx22cxa(a、b、c为非零实数)中至少有一条与x轴有交点【证明】假设三条抛物线都与x轴均无交点，则方程 cx22axb0的判别式14a24bc0.同理，24b24ac0，34c24ab0，则1234a24b24c24ab4bc4ac0，所以2(ab)22(bc)22(ca)20，这与2(ab)22(bc)22(ca)20相矛盾，故假设不成立所以三条抛物线中至少有一条与x轴有交点1.已知p：关于x的不等式x22axa0的解集是R，q：1a0，则p是q的_【解析】由4
6、a24a0，可得1aa0)，其浓度为_；若再加入m(m0)千克糖，糖水更甜了，根据这一生活常识，提炼出一个常见的不等式为_abaambbm4.证明：a2ab与b2ab(其中a，bR)中至少有一个是非负数2222222()0200()0aabbababaabaabbbababR假【证明】设 与 其中，都是负数，即，两式相加得，即，显然不成立，所以假设不成立，原命题成立25.1(0)().ababxyabxyxyab 若 、，求证：210()()()2().ababxyabxyabxyxyxyaybxabxyaabbab因为 ，、，所以 即原不等【证明】式成立1在数学问题解决过程中，不可能离开数学
7、的证明求解数学题，每个步骤的实施，都离不开证明的因素，所以证明是包含在推理过程之中的证明一般分直接证明与间接证明两种直接证明是从已知或事实出发，遵照一定的逻辑程序推出问题的结论的一种证明方法，它主要有综合法和分析法两种综合法是由已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，它的一般步骤是(已知)p0p1p2pn(结论)分析法正好与综合法的思维顺序相反，即先假设结论是正确的，由此逐步推出保证结论成立的必要判断，当这些判断恰好都是已知命题(正确的命题或关系)时，所要研究的问题就得到证明，它的一般步骤是(结论)pnp2p1(已知)12 2()“”()()npqqpppp 间接证明方法是直接证明方法的一个补
8、充，当直接证明有困难或过程太过于复杂时，常采用间接证明方法完成常见的间接证明方法是反证法，它的思维过程是假设结论为假，遵照逻辑规则，推出一个为假的事实 或与已知矛盾，或与数学事实矛盾，来说明假设结论为假是错误的，从而所要证明的结论是正确的一般步骤是，要证明，否定结论与已知矛盾 反证法的推理.pqqp 基础是四种命题间的逻辑关系，即原命题与其逆否命题的真假性相同其思想是，由证明，转向证明它的逆否命题3反证法的证明步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真：由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原
9、结论成立其中归谬是反证法的关键也是难点，导出矛盾的过程没有固定模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水、无本之木，同时注意推理必须严谨4常用反证法的题型：(1)用直接证法证明比较困难的一些几何问题，尤其是证两条直线是异面直线与唯一性问题，常采用反证法；(2)关于否定性问题的证明一般都使用反证法加以证明；(3)命 题 中 含 有“至 多”“至少”“不多于”或“最多”等词语的命题的证明，一般用反证法22100122_1xyxyxymmm已知，且 ，若 恒成立，则实数的取值范围是22min222(2)22142(2)()488242.xymmxymmyxxyxyxyxymmm要使 恒成立，只要
10、，而 ，所以，解得【解析】答案：4m0，且a2abacbc4，则2abc的最小值为_2()()402()()24aabacbcab acabcabcabacab acbc 因为 ，且，所以 ，当且仅当 时等【解析】号成立答案：4选题感悟：基本不等式是C级要求，但很多时候要对条件或结论变形以后应用，需要认真体会3(2010扬州期末卷)已知数列an，anpnqn(p0，q0，pq，R，0，nN*)(1)求证：数列an1pan为等比数列；(2)数列an中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由 1112111()(01)0nnnnnnnnnnnnnnnnapqapapqp pqqqpqpqapaqapaapa证明：因为 ，所以 因为，所以，为常数，所以数列为等【解析】比数列(2)取数列an的连续三项an，an1，an+2(n1，nN*)因为an+12anan2(pn1qn1)2(pnqn)(pn2qn2)pnqn(pq)2，而 p0，q0，pq，0，所 以 pnqn(pq)20，所以an+12anan2，所以数列an中不存在连续三项构成等比数列选题感悟：数学证明方法的选择是由具体的数学问题决定的，高考试题常以综合法处理为主