1、2020-2021学年四川省成都市锦江区盐道街中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（共12小题）.1抛物线x24y的焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）2已知命题p：xR，x2+22x，则它的否定是（）AxR，x2+22xBx0R x02+22x0Cx0R X02+22x0DxR x2+22x3已知条件p：x29，条件q：x3，则p是q的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要4直线3x+4y30与直线6x+my+140平行，则它们的距离为（）AB2CD85已知圆C：x2+y26x+80，由直线yx1上一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A1
2、B2CD6已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M（m，2）到焦点的距离为4，则m的值为（）A4B4C4或4D2或27已知ABC的周长为20，且顶点B（0，4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A（x0）B（x0）C（x0）D（x0）8数学家欧拉1765年在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为xy+20，则顶点C的坐标是（）A（4，0）B（0，4）C（4，0）D（4，0）或（4，0）9若双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24所截得的弦
3、长为2，则C的离心率为（）A2BCD10已知椭圆E：+1（ab0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A（0，B（0，C，1）D，1）11已知P为双曲线C：（a0，b0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）ABCD12已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为
4、（）AB3C6D二、填空题13若直线ax+2y+10与直线x+（a1）y+a0互相垂直，则a 14若双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则的值为 15已知椭圆的方程为，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A点的坐标为（2，1），P为椭圆上一点，则|PA|+|PF2|的最大值是 16已知椭圆上存在相异两点关于直线yx+t对称，则实数t的取值范围是 三、解答题17在ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x2y+10，A的平分线所在直线的方程为y0，若点B的坐标为（1，2）（1）求点A的坐标；（2）求直线BC的方程；（3）求点C的坐标18已知p：方程x2mx+10有实数解，q：x22x+m0对任意x
5、R恒成立，若命题pq真、p真，求实数m的取值范围19过原点O的圆C，与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，2）（1）求圆C的标准方程；（2）直线l过B点与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式20已知抛物线y22px（p0）的准线方程为x1（）求p的值；（）直线l：yx1交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|21设椭圆的左焦点为F1，离心率为，过点F1且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）设P（1，1），过P的直线l交椭圆于A，B两点，当P为AB中点时，求直线l的方程22已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率
6、为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点（）求椭圆C的方程；（）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由参考答案一、单选题1抛物线x24y的焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）解：因为抛物线x24y，所以p2，所以抛物线x24y的焦点坐标为（0，1）故选：D2已知命题p：xR，x2+22x，则它的否定是（）AxR，x2+22xBx0R x02+22x0Cx0R X02+22x0DxR x2+22x解：命题p是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题可知
7、，命题的否定是：x0R x02+22x0，故选：B3已知条件p：x29，条件q：x3，则p是q的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要解：x29x3，或x3p是q的必要不充分条件，故选：C4直线3x+4y30与直线6x+my+140平行，则它们的距离为（）AB2CD8解：直线3x+4y30与直线6x+my+140平行，解得m8直线6x+8y+140化为：3x+4y+70它们的距离2故选：B5已知圆C：x2+y26x+80，由直线yx1上一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A1B2CD解：由圆C：x2+y26x+80，得（x3）2+y21圆C的圆心坐标为（3，0），半
8、径为1如图，圆心（3，0）到直线xy10的距离d，圆的半径为定值1由直线yx1上一点向圆引切线，则切线长的最小值为故选：A6已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M（m，2）到焦点的距离为4，则m的值为（）A4B4C4或4D2或2解：由题意设抛物线的方程为x22py，（p0），则可得准线方程为y，由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离及题意可得：2+4，解得p4，所以抛物线的方程为：x28y，将M的坐标代入可得：m282，解得m4，故选：C7已知ABC的周长为20，且顶点B（0，4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A（x0）B（x0）C（x0）D（x0）解：
9、ABC的周长为20，顶点B （0，4），C （0，4），BC8，AB+AC20812，128点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a6，c4b220，椭圆的方程是故选：B8数学家欧拉1765年在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为xy+20，则顶点C的坐标是（）A（4，0）B（0，4）C（4，0）D（4，0）或（4，0）解：设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（），代入欧拉线方程得：，整理得：mn+40 AB的中点为（1，2），AB的中垂线
10、方程为y2（x1），即x2y+30联立，解得ABC的外心为（1，1）则（m+1）2+（n1）232+1210，整理得：m2+n2+2m2n8 联立得：m4，n0或m0，n4当m0，n4时B，C重合，舍去顶点C的坐标是（4，0）故选：A9若双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A2BCD解：双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay0，圆（x2）2+y24的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得e24，即e2故选：A10
11、已知椭圆E：+1（ab0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A（0，B（0，C，1）D，1）解：如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF，BF，则四边形AFBF是平行四边形，4|AF|+|BF|AF|+|AF|2a，a2取M（0，b），点M到直线l的距离不小于，解得b1e椭圆E的离心率的取值范围是故选：A11已知P为双曲线C：（a0，b0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）ABCD解
12、：设直线PF2与圆x2+y2a2相切于点M，则|OM|a，OMPF2，取PF2的中点N，连接NF2，由于|PF1|F1F2|2c，则NF1PF2，|NP|NF2|，由|NF1|2|OM|2a，则|NP|2b，即有|PF2|4b，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a，即4b2c2a，即2bc+a，4b24ab+a2b2+a2，4（ca）c+a，即3b4a，则则C的渐近线方程为：故选：A12已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）AB3C6D解：由题意可知：F1
13、F2F2P2c，又F1P+F2P2a1，F1PF2P2a2，F1P+2c2a1，F1P2c2a2，两式相减，可得：a1a22c，4+2+，2+22，当且仅当时等号成立，的最小值为6，故选：C二、填空题13若直线ax+2y+10与直线x+（a1）y+a0互相垂直，则a解：直线ax+2y+10与直线x+（a1）y+a0垂直，a1+2（a1）0，解得a；故答案为：14若双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则的值为3解：双曲线C：（a0，b0）的离心率为，可得e，可得a2+b210a2，可得3故答案为：315已知椭圆的方程为，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A点的坐标为（2，1），P为椭圆上一点，则
14、|PA|+|PF2|的最大值是 10+解：将A代入可得+1，所以可得A在椭圆内部，由椭圆的方程可得a225，所以可得2a10，b216，所以c2a2b225169，解得c3，所以左焦点F1（3，0），由椭圆的定义可得：|PF2|2a|PF1|，所以|PA|+|PF2|PA|+2a|PF1|2a+|AF1|10+10+|PA|+|PF2|最大值为10+，故答案为：10+16已知椭圆上存在相异两点关于直线yx+t对称，则实数t的取值范围是解：设椭圆存在关于直线yx+t对称的两点为A（x1，y1），B（x2，y2），根据对称性可知线段AB被直线yx+t直平分，且AB的中点M（x0，y0）在直线yx+
15、t上，且kAB1，故可设直线AB的方程为yx+b，联立直线AB与椭圆的方程，整理可得3x24bx+2b220，由16b212（2b22）0，可得，AB的中点在直线yx+t上，可得，所以故答案为：三、解答题17在ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x2y+10，A的平分线所在直线的方程为y0，若点B的坐标为（1，2）（1）求点A的坐标；（2）求直线BC的方程；（3）求点C的坐标解：（1）联立，解得，可得A（1，0）（2）kBC2直线BC的方程为：y22（x1），解得2x+y40（3）A的平分线所在直线的方程为y0，A（1，0），B（1，2），kACkAB1设C（a，b），则1，2，解得a5，
16、b6C（5，6）18已知p：方程x2mx+10有实数解，q：x22x+m0对任意xR恒成立，若命题pq真、p真，求实数m的取值范围解：根据题意，命题p：方程x2mx+10有实数解，则有m240，解得m2或m2命题q：x22x+m0对任意xR恒成立，则有44m0，解得m1若命题pq为真，p为真，则p为假，q为真必有，解得1m2实数m的取值范围是（1，2）19过原点O的圆C，与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，2）（1）求圆C的标准方程；（2）直线l过B点与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式解：（1）设圆C的标准方程为：（xa）2+（yb）2r2，则分别代入原点和A（4，0），B
17、（0，2）得到，解得，则圆C的标准方程为：（x2）2+（y1）25；（2）由（1）得到圆心C为（2，1），半径r，由于直线l过B点与圆C相切，则设直线l：x0或ykx+2，当l：x0时，C到l的距离为2，不合题意，舍去；当l：ykx+2，由直线与圆相切，得到dr，即有，解得k2，故直线l：y2x+2，即为2xy+2020已知抛物线y22px（p0）的准线方程为x1（）求p的值；（）直线l：yx1交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|解：（）由抛物线y22px（p0）的准线方程为x1得，所以p2；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y，得x26x+10，则x1+x26，x1x21，所以
18、21设椭圆的左焦点为F1，离心率为，过点F1且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）设P（1，1），过P的直线l交椭圆于A，B两点，当P为AB中点时，求直线l的方程解：（1）设F（c，0），由，知，椭圆方程为，将xc，代入椭圆方程，解得，于是，解得，又a2b2c2，从而，c1，所以椭圆方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以有，作差得，又因为P为AB中点，所以x1+x22，y1+y22，l的方程为，即2x+3y5022已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点（）求椭圆
19、C的方程；（）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由解：（）设点A1（a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a42c又因为椭圆的离心率，即a2c联立方程可得：a2，c1，则b2a2c23所以椭圆C的方程为解：（）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线xx0上假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x1上，下面对猜想给予证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x232k2x+6
20、4k2120，0由韦达定理可得，（*）因为直线，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x14）（x22）k（x24）（x1+2），即证4x1x210（x1+x2）+160将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证所以点G在定直线上x1上解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x25（x1+x2）+80又A1，M，G三点共线，有：又A2，N，G三点共线，有：，将与两式相除得：即，将2x1x25（x1+x2）+80即代入得：解得x34（舍去）或x31，所以点G在定直线x1上解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为yk（x4），M（x1，y1），N（x2，y2）由得（3+4k2）x232k2x+64k2120，0设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，由A1，M，G三点共线，有：由A2，N，G三点共线，有：与两式相除得：解得x34（舍去）或x31，所以点G在定直线x1上
