1、归纳推理【例1】一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第9行第4个数是_第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7【解析】第1行第1个数为120，第2行第1个数为221，第3行第1个数为422，第9行第1个数为291256，所以第9行第4个数为2563259.答案：259从特殊到一般，是归纳的特点用归纳的方法导出结论一般是 以 审 题、经 验 和 直 觉 为 前 提的本题从数表的特点出发，仔细观察第一列的特征，不难发现每行的第一个数的规律性【变式练习1】根据下列5个图表及相应点的个数的变化规律，归纳出第n个图中点的个数f(n)与n的关系式f(n)_.【解析】f(
2、2)f(1)2；f(3)f(2)4；f(4)f(3)6；f(n)f(n1)2(n1)以上(n1)个式子相加得f(n)f(1)n2n，所以f(n)n2n1.类比推理【例2】在直角三角形ABC中，若C90，则cos2Acos2B1.那么，在空间四面体PABC中，是否具有类似的结论？22222222222290coscos1.coscoscos1.ABCCABACBCACBCABABABPABCPACPBCPAB在直角三角形中，若，则在空间四面体中，若平面、两两垂直，且这三个侧面与底面所成的二面角分别为、【解析、】，则应用类比要注意两类对象具有某些类似的特征，并由其中一类对象的已知特征推出另一类对象
3、也具有这些特征本题中，平面三角形有两条边相互垂直，同时与第三条边所成角已知；在空间四面体中，也应有三个面相互垂直，并同时与第四个面所成角已知，那么由于情景和性质完全相同，就可以进行类比了【变式练习2】在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2AC2BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是什么？22222222222SS+SSSS+SSABCACDADBBCDABCACDADBBCDABACABCACDADBABACBCABCDABCACDADB平面空间，边垂直面垂直边长面积类比条件：两边、互相垂直侧面、两两
4、互相垂直类比结论：所以猜想正确的结论是：设三棱锥 的三个侧面、两两互相垂直，则【解析】222222.RtS111()().422SS.SABCOBCBCDACDBCDOCDABDBCDOBDABAOBCDOAEBCEABACADOBCDDAEAODEAEEO EDBCAEBC EOBC EDSSSSSS下面给出严格的证明如图，作平面于点，于点 由三个侧面两两垂直可知三条侧棱、两两互相垂直，故 为的垂心在中，有：，所以同理，故2222S+SSCACDADBBCD演绎推理 1/.21/23.ABCDEFOABCDCDEEFBCFOCDEBCCDEOCDF如图，在五面体中，点 是矩形的对角线的交点，
5、是等边三角形，棱证明：平面；设，证明：平面【例3】().1/.21/,2/(1/)CDMOMABCDOMBCEFBCEFOM一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 大前提取的中点，连结在矩【证明】形中，又则小前提()/.()()()EMEFOMFOEMFOCDEEMCDEFOCDE连结，于是四边形为平行四边形结论，所以平面外一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线平行于这个平面 大前提 又因为平面，平面小前提，所以平面结论 ()131()22().()()().2FMCDECMDMEMCDBCEFEFOMEOFMEMCDOMCDEMOMMCDEOMCDEOFMCDM证明：两条邻边相等的平行四边
6、形是菱形 大前提 连结，由和已知条件，在等边中，所以小前提，所以平行四边形为菱形 结论，所以一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，这条直线和这个平面垂直 大前提 又，小前提，所以平面结论，从而而，所以.EOCDF 平面本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力分析上述推理过程，可以看出，推理的前提是一般性命题：平行四边形的判定与性质、线面平行的判定定理、线面平行的性质定理等，这些大前提一般可以省略，结论是蕴含在前提中的特殊位置关系像这类推理证明题和其他知识结合到一起，属于知识综合题解决此类题目时建立合理的解题思路是关键【变式练习3】将推理“函数y2x2x
7、1的图象是抛物 线”改 写 成 三 段 论 的 形 式 为_.二次函数的图象是抛物线(大前提)；函数y2x2x1是二次函数(小前提)；函数y2x2x1的图象是抛物线(结论)1.下列四种说法中正确的有_.合情推理就是正确的推理；合情推理就是归纳推理；归纳推理是从一般到特殊的推理；演绎推理是从一般到特殊的推理【解析】合情推理包括归纳推理和类比推理，它们分别是由特殊到一般和特殊到特殊的推理，推理未必正确 222232.sin 30sin 30sin30sin3043sin 40sin 20sin40sin204已知等式，请你写出一个具有一般性的等式，使所写等式包含已知的等式等式为_223sinsin
8、(60)sinsin(60)4 1113.1015125335250111()(2)2nnnnnABABaaaanaa下列几种推理形式是演绎推理的是 _ 两条直线平行，同旁内角互补如果和是两条平行直线的同旁内角，则；由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；某校高三共有 个班，班有人，班有人，班有人，由此推测高三各班都超过人；在数列中，由此归纳出数列的通项公式【解析】根据各种推理的特点逐一判断：是演绎推理；是类比推理；是归纳推理；是归纳推理 2212121222122221212222122222121212124.11.2()()22()22,0148()0.211nnaaRaaaaf xx
9、axaf xxaa xaaxxaaxf xaaaaaaaaaaRR先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知，求证：证明：构造函数 ，则 因为对一切，恒有，所以 ，从而得若，请 2写出上述结论的推广式；参考上述证法，对你推广的结论加以证明 121222212221222222121222221222212221211;12()()()2()2044()0nnnnnnnnaaaaaaaaanf xxaxaxaf xnxaaaxaaanxxaaaxf xn aaaaaaRR若，则证明：构造函数 ，则 因为对一切，恒有，所以 ，而解析从】得【21.nn222121222225.1.1ABMOxy
10、rABOOAMBMkkk kxyab已知点、是：上不同的三点若经过的圆心，且直线和的斜率、都存在，则 椭圆也有类似结论，请写出来并加以证明22222121221111002222110022222222222201010102221.()()()1,1,0,(xyABMabABOAMbBMkkk kaABA xyBxyM xyxyxyababxxyybyyxaba结论：已知点、是椭圆上不同的三点，若经过椭圆中心，且直线和的斜率、都存在，则证明：显然、关于原点对称，设，则两式相减得即【解析】2122010112220101).xyyyybbk kxxxxaa所以，即推理一般包括合情推理与演绎推理
11、，合情推理是指根据已有的事实和正确的结论(包括公理、定理、常用的结论)导出合理结果的推理过程，或根据个人的经验和直觉推测出某些结果的推理过程因此，当前提为真时，结论可能为真的推理就是合情推理最常见的合情推理有归纳推理和类比推理在解决问题时，合情推理具有猜测、设想和发现结论及探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养演绎推理是根据已有的事实和正确的前提，按照严格的逻辑法则得出新的结论的推理过程，其特点是，当前提为真时，结论必然为真最常见的演绎推理有假言推理，即“若pq，p真，则q真”；三段论推理，即“若bc，且ba，则ac”，又称“大前提，小前提，结论”三段论；关系推理，即“若ab，bc，则ac
12、”；完全归纳推理，即把所有情况都考虑在内的演绎推理，它与合情推理中的归纳推理是有区别的合情推理中的归纳推理称为不完全归纳推理，是一种由特殊到一般地推理，推理的结论未必是可信的，而演绎推理中的归纳推理是完全归纳推理，它是一种由一般到一般地推理，只要前提正确，推理的结论一定是正确的124341123(1,2,3,4).122.34(1,2,3,41(2010)123iiiiiiSia iPaaPihaaSkihkViS iQQiSSSHS设面积为 的平面四边形的第条边的边长记为，是该四边形内任意一点，点到第 条边的距离记为若，则类比上述结论，体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为，是该三棱锥内的任意
13、一点，点到第 个面的距离记为，则相应的正确命题是：若南通一模卷4_4k，则413iiViHk答案：选题感悟：本题主要考查的是合情推理弄清平面几何与立体几何之间的类比关系，即面积体积，是进一步求解的关键*11 1 111111(1)(),21 2 332241111111(1)()4353246_)2(nn N观察下列不等式：，由此猜测第个不等式为镇学联(2010 江市第一期期末考卷)【解析】根据已知不等式左右两边的构成，应用归纳推理即可求解1111(1)135211 1111()2462nnnn答案：选题感悟：归纳往往从特殊值开始，通过对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，这是数学研究
14、的基本方法之一，要注意体会3(2010 辽宁文数)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值 1111111111111111()()()(1)()()()BCC BB CBCB CA BA BBCBB CA BCB CAB CAB CA BC因为菱形的对角线互相垂直大前提，侧面是菱形 小前提，所以结论 又由线面垂直的判定定理 大前提，且小前提，所以平面结论 又平面，所以平面【证明】平面结论(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线由线面平行的性质定理(大前提)，且A1B 平 面 B1CD(小 前 提)，所 以A1BDE.(结论)又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1DDC11.选题感悟：本题应用演绎推理证明和计算，很多情况下，演绎推理的大前提可以省略