1、章末综合测评(二)平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016淮北高一检测)化简得()ABC. D0【解析】()0.【答案】D2已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是()Aab1 Ba2b2Cabab Dab0【解析】因为a，b都是单位向量，所以|a|b|1，所以|a|2|b|2，即a2b2.【答案】B3已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量(1,1)，n(1，1)，且n2，则n等于()A2 B2C0 D2或2【解析】因为nn()nn.又n(1，1)(1,1)110，所以nn2
2、.【答案】B4(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()AB.C.D.【解析】().故选A【答案】A5已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为()A3 B3C0 D2【解析】由原式可得解得xy3.【答案】A6设向量a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，用a，b作基底可将c表示为cpaqb，则实数p，q的值为()Ap4，q1 Bp1，q4Cp0，q4 Dp1，q4【解析】c(3，2)paqb(pq,2pq)，解得【答案】B7(2015山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2C.a2 Da2【解析】由已知
3、条件得aacos 30a2，故选D.【答案】D8若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为() 【导学号：66470061】A30 B60C120 D150【解析】因为ca，所以ca0，即(ab)a0，所以aba21.设ab的夹角为，所以cos .又0，所以120.【答案】C9数轴上点A，B，C的坐标分别为1,1,5，则下列结论错误的是()A的坐标是2 B3C.的坐标是4 D2【解析】答案C不正确故选C.【答案】C10设02，已知两个向量(cos ，sin )，(2sin ，2cos )，则向量长度的最大值为()A BC3 D2【解析】因为(2sin cos ，2cos sin
4、 )，所以|3.【答案】C11(2016蜀山高一检测)如图1所示，半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径上的动点，则()的最小值为()图1A2 B0C1 D 2【解析】由平行四边形法则得2，故()2，又|2|且反向，设|t(0t2)，则()22t(2t)2(t22t)2(t1)210t2，当t1时，()的最小值为2.【答案】D12在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于()A2 B4C5 D10【解析】，|2222.，|2222，|2|2(22)2()2222222.又2162，2，代入上式整理得|2|210|2，故所求值为10
5、.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13(2015湖北高考)已知向量A，|3，则_.【解析】因为，所以()0，所以|29，即9.【答案】914有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成_角的方向行驶【解析】如图，为水速，是船行驶路程最短的情形，是船行驶的速度，不难知道AOB135.【答案】13515(2015湖南高考改编)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为_【解析】法一：AC为RtABC的斜边，则AC为圆x2y21的一条直径，故AC必经过原点，如图，则2，
6、|2|2|，当P，O，B三点共线时取等号，即当B落在点(1,0)处时|取得最大值，此时，(2,0)，(3,0)，2|2237，故|的最大值为7.法二：同法一，得|2|.又，|2|3|7，当且仅当POB180时取“等号”，故|的最大值为7.法三：同法一，得|2|.设B(cos ，sin )，则|2 |2(2,0)(cos 2，sin )|(6cos ，sin )|7(当cos 1，即B落在点(1,0)处时取等号)故|的最大值为7.【答案】716.如图2，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_图2【解析】由3，得，.因为2，所以2，即2AB2.又因为25，64，所以22.【
7、答案】22三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知梯形ABCD中，ABCD，CDADAB90，CDDAAB.求证：ACBC. 【导学号：66470062】【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以(1,1)，(1,1)，11110，所以ACBC.18(本小题满分12分)(2016无锡高一检测)设(2，1)，(3,0)，(m,3)(1)当m8时，将用和表示；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件【解】(1)当m8时，(8,3)
8、，设xy，则(8,3)x(2，1)y(3,0)(2x3y，x)，所以所以所以3.(2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线，(1,1)，(m2,4)，所以141(m2)0，所以m6.19(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD，2，且ABCDDA2，a，b，M是CD的中点(1)试用a，b表示；(2)AB上有点P，PC和BM的交点Q，PQQC12，求APPB和BQQM.【解】(1)()(2)ab.(2)设t，则2()t(atb)设ab，由于，不共线，则有解方程组，得，t.故APPB21，BQQM45.20(本小题满分12分)(2016柳州高一检测)如图3，平行四边形ABCD中，a，b，
9、.图3(1)用a，b表示；(2)若|a|1，|b|4，DAB60，分别求|和的值【解】(1)ab.(2)|a|1，|b|4，a与b夹角DAB60，ab14cos 602，|EF|.ab.(ab)|a|2ab|b|212164.21(本小题满分12分)已知a(1，cos x)，b，x(0，)(1)若ab，求的值；(2)若ab，求sin xcos x的值【解】(1)因为ab，所以sin xcos xtan x，所以2.(2)因为ab，所以sin xcos x0sin xcos x，所以(sin xcos x)212sin xcos x.又因为x(0，)且sin xcos x0，所以sin xcos
10、 x.22. (本小题满分12分)如图4，(6,1)，(x，y)，(2，3)图4(1)若，求x与y之间的关系式；(2)若在(1)的条件下，又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积【解】(1)(6,1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，(x4,2y)又，(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)(6,1)(x，y)(x6，y1)，(x，y)(2，3)(x2，y3)，且，0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.又由(1)的结论x2y0，(62y)(2y2)(y1)(y3)0，化简，得y22y30，y3或y1.当y3时，x6.于是有(6,3)，(0,4)，(8,0)，|4，|8，S四边形ABCD|16；当y1时，x2.于是有(2，1)，(8,0)，(0，4)，|8，|4，S四边形ABCD|16，或S四边形ABCD16.
