1、4.3.2 等比数列的前n项和公式第1课时 等比数列的前n项和必备知识自主学习1.等比数列的前n项和公式 导思 1.什么是等比数列的前n项和公式？2怎样推导等比数列的前n项和公式？两个求和公式如何选择？提示：知道首项a1、公比q(q1)和项数n，可以用Sna1（1qn）1q；知道首尾两项a1，an和q(q1)，可以用Sna1anq1q.在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个2错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若bn是公差d0的等差数列，cn是公
2、比q1的等比数列，求数列bncn的前n项和Sn时，可以用这种方法 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？提示：根据等比数列的定义，有：a2a1 a3a2 a4a3 anan1q，再由合比定理，则得a2a3a4ana1a2a3an1q即Sna1Snanq，进而可求Sn.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)在等比数列an中，a1b，公比为 q，则前 3 项和为b（1q3）1q.()(2)求数列n2n的前 n 项和可用错位相减法()(3)a1（1qn）1qa1（qn1）q1.()(4)等比数列前 n 项和 Sn 不可能为 0.()(5)若某数列的前 n 项和公式为 Snaqna(a0
3、，q0 且 q1，nN*)，则此数列一定是等比数列()提示：(1)若公比为q1，则结论就是错误的(2)数列n2n就是典型的等差与等比数列的对应项之积构成的数列，其前n项和就需要用错位相减法求得(3)其中一个式子的分子与分母同乘1，即可转化为另一个式子(4)如等比数列1，1，1，1，的前n项和就可以等于零(5)根据等比数列前n项和公式Sna1（1qn）1q(q0且q1)变形为：Sn a11q a11qqn(q0且q1)，若令a a11q，则可变形为Snaaqn.2等比数列an中，公比q2，S544，则a1的值为()A4 B4 C2 D2【解析】选A.由S5a11（2）51（2）44得a14.3数
4、列2n1的前99项和为()A.21001 B12100C.2991 D1299【解析】选C.数列2n1 为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99129912 2991.4设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则S4a2 等于_【解析】S4a2 a1（1q4）1q 1a1q 1q4（1q）q 152.答案：152关键能力合作学习类型一 等比数列前n项和公式的应用(数学运算)【典例】在等比数列an中，公比为q，前n项和为Sn.(1)a18，an14，Sn634，求n；(2)S372，S6632，求an及Sn.【思路导引】直接代入公式计算【解析】(1)显然q1，由Sna1anq1q
5、，即814q1q 634，所以q12.又ana1qn1，即812n114，所以n6.(2)方法一：由S62S3知q1，由题意得a1（1q3）1q72，a1（1q6）1q632，得1q39，所以q38，即q2.代入得a112，所以ana1qn112 2n12n2，Sna1（1qn）1q2n112.方法二：由S3a1a2a3，S6S3a4a5a6S3q3(a1a2a3)S3q3S3(1q3)S3.所以1q3S6S3 9，所以q38，即q2.代入得a112，所以ana1qn112 2n12n2，Sna1（1qn）1q2n112.等比数列前n项和公式的应用在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn
6、中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用类型二 等比数列的前n项和的性质(数学运算)【典例】等比数列an的前n项和Sn48，前2n项和S2n60，求前3n项和S3n.等比数列求和性质的应用运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件否则会出现失误如Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列的前提是Sn，S2nSn，S3nS2n均不为0.1若等比数列an的公比为13，且a1a3a9960，则an的前100项和为_【解析】令Xa1a3a9
7、960，Ya2a4a100，则S100XY，由等比数列前n项和性质知：YX q13，所以Y20，即S100XY80.答案：802一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式为_【解析】设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶因为数列an的项数为偶数，所以有qS偶S奇13.又因为a1a1qa1q264，所以a31 q364，即a112，故所求通项公式为an1213n1413n2.答案：an413n2类型三 错位相减法求和(逻辑推理、数学运算)【典例】已知等比数列an满足
8、：a112，a1，a2，a318 成等差数列，公比q(0，1)，(1)求数列an的通项公式；(2)设bnnan，求数列bn的前n项和Sn.【思路导引】(1)根据a1，a2，a318 成等差数列求得公比q，写出通项公式；(2)由bnnan可知利用错位相减法求和【解析】(1)设等比数列an的公比为q，a112，因为a1，a2，a318 成等差数列，所以2a2a1a318，即得4q28q30，解得q12 或q32，又因为q(0，1)，所以q12，所以an12 12n112n.(2)根据题意得bnnan n2n，Sn12 222 323 n2n，12 Sn122 223 324 n2n1，作差得12
9、Sn12 122 123 12n n2n1，Sn2(n2)12n.错位相减法的适用题目及注意事项(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和(2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况1求和：121222323n2n，nN*.【解析】设Sn121222323n2n，则2Sn122223(n1)2nn2n1，所以Sn2122232nn2n12（12n）12n2n12n12n2n1(1n)2n12，所以Sn(n1)2n12.2求和：1
10、2 34 58 716 2n12n.【解析】设Sn12 34 58 716 2n12n12 322 523 724 2n32n1 2n12n，则12 Sn122 323 524 2n32n2n12n1.，得12 Sn12 222 223 224 22n 2n12n112 12 122 12n1 2n12n1 12 12 12n1121122n12n1 32 12n1 2n12n132 2n32n1，所以Sn32n32n.课堂检测素养达标1设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q等于()A1 B0C.1或0 D1【解析】选A.因为SnSn1an，又Sn是等差数列，所
11、以an为定值，即数列an为常数列，所以q anan11.2已知等比数列an的首项a13，公比q2，则S5等于()A.93 B93 C45 D45【解析】选A.S5a1（1q5）1q3（125）1293.3(2021北京高二检测)对于数列an，若点(n，an)(nN*)都在函数f(x)2x的图象上，则数列an的前4项和S4_【解析】由题设可得an2n，故 anan12，故an为等比数列，其首项为2，公比为2，故S421241230.答案：304已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于_【解析】根据等比数列性质得S10S5S5q5，所以S101125，所以S1033.答案：335设Sn为等比数列an的前n项和若a113，a24 a6，则S5_【解析】由a24 a6得(a1q3)2a1q5，整理得q1a1 3.所以S513（135）131213.答案：1213