1、第五节椭 圆授课提示：对应学生用书第161页基础梳理1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)续表性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b，0)，B2(b，0
2、)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系a2b2c21e与：因为e，所以离心率e越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e越小，则越大，椭圆就越圆2点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆1(ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外1.3设椭圆1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，这时，P为短轴端点；当xa时，|OP|有最大值a，这时，P为长轴端点4若点P是椭圆1(ab0)上任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，且F1PF2，
3、则SPF1F2b2tan.5过椭圆1(ab0)的焦点F作x轴的垂线，交椭圆于A，B，则|AB|.6椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，P(x0，y0)是椭圆上任意一点，则|PF1|aex0，|PF2|aex0.7若P为椭圆1(ab0)上任意一点，则ac|PF|ac.四基自测1(易错点：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是()平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；椭圆的离心率越大，椭圆越接近圆；若方程1表示椭圆，则(5k)(k3)0；椭圆离心率e(0，1)A1B2C3 D.0答案：B2(基础点：椭圆的定义)已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另
4、一个焦点F2的距离为()A2 B3C5 D.7答案：D3(基础点：椭圆的方程与性质)已知椭圆的一个焦点为F(1，0)，离心率为，则椭圆的标准方程为_答案：14(易错点：椭圆方程的特征)已知椭圆1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于_答案：8授课提示：对应学生用书第162页考点一椭圆的定义及应用挖掘1利用椭圆定义求方程/ 自主练透例1(1)已知圆C1：(x4)2y2169，圆C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B1C.1 D.1解析设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆
5、，且2a16，2c8，故所求的轨迹方程为1.答案D(2)已知动圆M过定点A(3，0)并且与定圆B：(x3)2y264相切，则动圆圆心M的轨迹方程为_解析因为点A在圆B内，所以过点A的圆与圆B只能内切，因为定圆圆心坐标为B(3，0)，所以|AB|6.所以|BM|8|MA|，即|MB|MA|8|AB|，所以动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，即a4，c3.故b27.即椭圆方程为1.答案1挖掘2椭圆定义的应用/ 互动探究例2(1)(2020郑州第二次质量预测)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为(
6、)A.y21 B1C.1 D.1解析由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以a3.因为椭圆的离心率e，所以c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1，故选D.答案D(2)已知点P(x，y)在椭圆1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F2的面积为18，则F1PF2的余弦值为_解析椭圆1的两个焦点为F1(0，8)，F2(0，8)，由椭圆的定义知|PF1|PF2|20，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|202，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2
7、162，两式相减得2|PF1|PF2|(1cosF1PF2)144，又SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF218，所以1cosF1PF22sinF1PF2，解得cosF1PF2.答案破题技法椭圆定义应用技巧思路应用解读求方程条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程求焦点三角形求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正、余弦定理，其中|PF1|PF2|2a.平方是常用技巧求最值利用|PF1|PF2|2a为定值，利用基本不等式求|PF1|PF2|最值或利用三角形求最值如ac、ac考点二椭圆的标准方程及应用挖掘求椭圆方程的方法/ 自主练透例(1)(2020宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F1
8、，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.1B1C.1 D.1解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由点P(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立得a28，b26，故椭圆方程为1.答案A(2)(2020成都模拟)与椭圆1有相同离心率且经过点(2，)的椭圆方程为_解析因为e ，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为1(mn0)，则1，从而，.又1，所以m28，n26.所以方程为1.若焦点在y轴上，设方程为1(hk0)，则1，且，解得h2
9、，k2.故所求方程为1.答案1或1(3)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率求椭圆C2的方程解析法一：(待定系数法)：由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，解得a4，故椭圆C2的方程为1.法二：(椭圆系法)：因椭圆C2与C1有相同的离心率，且焦点在y轴上，故设C2：x2k(k0)，即1.又222，故k4，故C2的方程为1.破题技法求椭圆标准方程的方法方法解读适合题型定义法根据题目的条件，判断是否满足椭圆的定义，若满足，求出相应的a，b，c的值，即可求得方程涉及两焦点的距离问题待定系数法(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出
10、相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程；(2)当焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可以设椭圆方程为mx2ny21(mn0)能够明确椭圆的焦点位置椭圆系法根据共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其他条件确定方程.具有某共同特征的椭圆求标准方程考点三椭圆的几何性质挖掘1求离心率(范围)/ 自主练透例1(1)(2018高考全国卷)已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.BC.D.解析a24228，a2，e.故选C.答案C(2)(2018高考全国卷)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A
11、且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B C. D.解析如图，作PBx轴于点B.由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1，由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tanPAB，解得a4，所以e.故选D.答案D(3)设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足0，|FB|FA|2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. BC. D.1，1)解析设椭圆左焦点为F，连接AF、BF.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，又0，即FAFB，故平行四边形AFBF为矩形，所以|AB|F
12、F|2c.设|AF|n，|AF|m，则在直角三角形AFF中，mn2a，m2n24c2，得mn2b2，得，令t，得t.又由|FB|FA|2|FB|得12，则t1，2，t，又，则可得e，即离心率的取值范围是.故选A.答案A破题技法求椭圆离心率的关键点(1)分析题设中所给量与离心率有什么关系(直接的或间接的)(2)转化条件，求离心率所用的量若直接可求出a、b、c的具体值，用公式e.构造a、b、c之间的齐次关系，进而求或的整体值若求e的具体值，构造方程，若求e的范围，构造不等式根据e(0，1)进行取舍挖掘2根据椭圆性质求值或范围/ 互动探究例2(1)(2020广东七校4月联考)已知点P为椭圆1上的动点
13、，EF为圆N：x2(y1)21的任一直径，则的最大值和最小值分别是()A16，124 B17，134C19，124 D.20，134解析EF是圆N的直径，|NE|NF|1，且，则()()()()2221，设P(x0，y0)，则有1，即x16y，又N(0，1)，|2x(y01)2(y03)220，又y02，2，当y03时，|2取得最大值20，则()max20119.当y02时，|2取得最小值134，则()min124.综上，的最大值和最小值分别为19，124，故选C.答案C(2)(2020山东烟台模拟)已知F(2，0)为椭圆1(ab0)的右焦点，过F且垂直于x轴的弦长为6，若A(2，)，点M为椭
14、圆上任一点，则|MF|MA|的最大值为_解析设椭圆的左焦点为F，由椭圆的右焦点为F(2，0)，得c2，又过F且垂直于x轴的弦长为6，即6，则3，解得a4，所以|MF|MA|8|MF|MA|8|MA|MF|，当M，A，F三点共线时，|MA|MF|取得最大值，(|MA|MF|)max|AF|，所以|MF|MA|的最大值为8.答案8考点四椭圆的综合应用挖掘椭圆中的综合问题/ 自主练透例(2020湖南永州二模)已知动点M到两定点F1(m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0m2)，且动点M的轨迹曲线C过点N.(1)求m的值；(2)若直线l：ykx与曲线C有两个不同的交点A，B，且2(O为坐标原点)，
15、求k的值解析(1)由0m2，得2m4，可知：曲线C是以两定点F1(m，0)，F2(m，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a2，设曲线C的方程为1，把点N代入得1，解得b21，由c2a2b2，解得c23，所以m.(2)由(1)知曲线C的方程为y21，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得消去y得x22kx10，则有4k210，得k2.x1x2，x1x2，则x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(1k2)x1x2k(x1x2)22.得k2，所以k的值.破题技法1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式