1、第三节圆的方程授课提示：对应学生用书第156页基础梳理1圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2y2DxEyF0条件：D2E24F0圆心：半径：r2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件：AC0，B0，且D2E24F0.2
2、以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.四基自测1(基础点：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2，3)B(2，3)C(2，3) D.(2，3)答案：D2(基础点：求圆的方程)过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24答案：C3(基础点：求圆的方程)AOB中，A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则AOB外接圆的方程为_答案：x2y24x3y04(易错点：二元二次方程表示
3、圆的条件)若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_答案：(2，)授课提示：对应学生用书第156页考点一求圆的方程挖掘求圆的方程/ 自主练透例(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)24解析根据题意可设圆的方程为x2(yb)21，因为圆过点A(1，2)，所以12(2b)21，解得b2，所以所求圆的方程为x2(y2)21.答案A(2)圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_解析法一：几何法设点C为圆心，因为点C在直线x2y30上，所以可设点C的坐标
4、为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得a1，b2，r210，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法三：待定系数法设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为，由题意得解得D2，E4，F5.故所求圆的方程为x2y22x4y50.答案x2y22x4y50(3)在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析因为直线与圆相切，所
5、以半径等于圆心到直线的距离，r，因为1m22m，所以1，所以r，所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.答案(x1)2y22破题技法求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线题设条件中有明显的几何特征续表方法解读适合题型待定系数法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(xa)2(yb)2r2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，
6、选择一般方程x2y2DxEyF0；(2)由题目给出的条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征1将本例(1)改为圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0Bx2y210y0Cx2y210x0Dx2y210x0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32(r1)2r2，解得r5，可得圆的方程为x2y210y0，故选B.答案：B2本小题(3)改为：在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，0)作直线mxy2m10(mR)的垂线，垂足为B，以A，B的连线段为直径的所有
7、圆中，半径最大的圆的一般方程为_解析：因为直线mxy2m10(mR)过定点C(2，1)，所以直径AB的最大值为|AC|，所以所求半径最大的圆的标准方程为，化为一般方程为x2y23xy20.答案：x2y23xy20考点二与圆有关的轨迹问题挖掘1直接法求与圆有关的轨迹方程/ 自主练透例1已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，则点M的轨迹方程为_解析设点M(x，y)，由题意得，整理得x2y22x30.答案x2y22x30将本题改为“M与A(3，0)，O(0，0)距离之比为”，则动点M的轨迹方程是什么？其轨迹是什么图形解析：由题意得，整理得(12)x2(12)y26x90.当1时，
8、轨迹方程为x，表示OA的垂直平分线当1时，方程为(x)2y2，表示为以(，0)为圆心，半径为的圆挖掘2相关点(代入法)求轨迹方程/ 自主练透例2(1)点P(4，2)与圆x2y24上任意一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D.(x2)2(y1)21解析设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.答案A(2)已知圆C：(x1)2(y1)29，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为_解析设P(x，y)，圆心C(1，1)因为P点是过点A的弦的中点，所以.又因为(2x，3y)，(1x，1y)所以(2x)(1x)(3y)(1y)0.所以点P的轨迹方程为(y2)2.答案(y2)2破题技法与圆有关的轨迹问题的四种求法将本例(1)变为P(4，2)，A是x2y24的动点M是线段PA上的点满足(0)，则动点M的轨迹还是圆吗？解析：由题意得，设M(x，y)，A(x0，y0)，(x4，y2)(x0x，y0y)，即xy4，4，即(x)2(y)2表示以为圆心，半径为的圆