1、第三节等比数列及其前n项和授课提示：对应学生用书第96页基础梳理1等比数列的有关概念(1)定义：文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数符号语言：q(nN，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab(a、G、b不为零)2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN)(2)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq，则amanapaq特别地，若mn2p，则amana(3)若等比数列前n项和为Sn，则
2、Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN，公比q1)(4)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk1(1)在等比数列求和时，要注意q1和q1的讨论(2)当an是等比数列且q1时，SnqnAAqn.2当项数是偶数时，S偶S奇q；当项数是奇数时，S奇a1S偶q.四基自测1(基础点：等比中项)等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4B8C16 D32答案：C2(基础点：等比数列的前n项和)设an是公比为正数的
3、等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为()A63 B64C127 D128答案：C3(基础点：求等比数列的项)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案：12，484(基础点：等比数列的通项)记Sn为数列an的前n项和，若Sn2an1，则an_答案：2n1授课提示：对应学生用书第96页考点一等比数列的基本运算及性质挖掘1利用基本量进行计算/ 自主练透例1(1)(2019高考全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16B8C4 D2解析由题意知解得a3a1q24.故选C.答案C(2)(2019高考全国卷
4、)记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_.解析由aa6得(a1q3)2a1q5，整理得q3.S5.答案(3)(2018高考全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解析设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.破题技法方法解读适合题型基本量法设出a1和q，将已知条件用a1和q表示，建立方程组求出a1和q
5、题设中有五个基本量a1，q，an，Sn，n中的两个挖掘2利用性质进行计算/ 互动探究例2(1)(2020哈尔滨模拟)等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log3a5解析由题a5a6a4a718，所以a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.答案B(2)(2020湖南衡阳一模)在等比数列an中，a1a3a44，则a6的所有可能值构成的集合是()A6 B8，8C8 D8解析a1a3a4，a22.当a22时，aa2a40无意义，a22.q22，a
6、6a4q2428.答案D破题技法方法解读适合题型性质法利用等比数列的性质化简已知条件题设中有“anam”型的表达式或qnm1(2020湖北荆州联考)已知数列an为等差数列，且2a1，2，2a6成等比数列，则an前6项的和为()A15 B.C6 D3解析：由2a1，2，2a6成等比数列，可得42a12a62a1a6，即a1a62，又数列an为等差数列，所以an前6项的和为6(a1a6)6.故选C.答案：C2(2020山东菏泽一模)在等比数列an中，a2，a16是方程x26x20的根，则的值为()A2 BC. D或解析：设等比数列an的公比为q，由a2，a16是方程x26x20的根，可得a2a16
7、2，即有aq162，则有a2，则a9.故选D.答案：D考点二等比数列的判定与证明挖掘1定义法证明等比数列/ 互动探究例1(2019高考全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解析(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11.所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anb
8、n，anbn2n1，所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.挖掘2等比中项法判定等比数列/ 互动探究例2(1)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列解析设等比数列的公比为q，则a3a1q2，a6a1q5，a9a1q8，满足(a1q5)2a1q2a1q8，即aa3a9.答案D(2)(2020湖南郴州一模)在数列an中，满足a12，aan1an1(n2，nN)，Sn为an的前n项和，若a664，则S7的值为()A126B256C255 D254解析数列a
9、n中，满足aan1an1(n2)，则数列an为等比数列，设其公比为q，又由a12，a664，得q532，则q2，则S7282254，故选D.答案D破题技法等比数列的判断与证明的常用方法方法解读适合题型定义法在an0(nN)前提下，若q(q为非零常数)或q(q为非零常数，n2且nN)，则an是等比数列已知中提供的递推关系式，或者是an与Sn的关系式进行化简，转化为数列an中相邻两项之间的关系等比中项法数列an中，an0，如果根据已知条件能化简得到aanan2(nN)，或者是证明此式成立，则数列an是等比数列证明三项成等比数列通项公式法观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写成ancqn
10、1(c，q均是不为0的常数，nN)，则an是等比数列能明确通项公式，用于选择或填空题中前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则数列an是等比数列能明确前n项和公式，只用于选择或填空题中考点三等比数列前n项和及综合应用挖掘1等比数列前n项和性质及应用/ 互动探究例1(1)记Sn为等比数列前n项和，若a10，a23a1，则_解析S10，S5，由a23a1，得q3，1q5244.答案244(2)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_解析由题意，得解得所以q2.答案2挖掘2等比数列的综合问题/ 互动探究例2(1)(20
11、19高考全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.求an的通项公式；设bnlog2an，求数列bn的前n项和解析设an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.由得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为132n1n2.(2)已知数列an满足a10，且an112an(nN)求证：数列an1为等比数列；求数列an的前n项和Sn.解析证明：an112an，an112(an1)，又a111，数列an1是以1为首项，2为公比的等比数列由知，an1(a11)2n12n1，an2n11.Sna1a2a3an(201)(211)(221)(2n11)(2021222n1)n2nn1.破题技法1.(1)应用等比数列前n项和公式时，特别注意q1时，Snna1这一特殊情况(2)Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1时且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立2项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q.若共有2n项，则S偶S奇q.