1、数列与函数、不等式知识的综合应用 21*31()1112220()119153.nnnnnnnSanSn nyxbbbbnbN已知数列的前 项和为，点，在直线 上数列满足：，且，前 项和为【例】*132211 2157nnnnnnnnabccabknTTnk N求数列，的通项公式；设，数列的前 项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数 的值 21*21211213111111()2211111122225.20().1191539 8211,91532531.nnnnnnnnnnnnnnSnyxnSnSnnnaSSnbbbnbbbbbbbbdbdbdbdN因为点，在直线 上，所以，即，从而得
2、 因为，所以 所以数列是等差数列因为，它的前 项和为，设公差为，则【，解得 ，】解析32.nbn所以 12331211 211111()21 212 2121111 111 11(1)()()232 352 5711111()(1)2 21212221nnnnncabnnnnTccccnnn 由得，所以 *1*11(1)2211.357119.57318.nnnTnnTTkTnkkkNN因为 在上是单调递增的，所以 的最小值为 因为不等式 对一切都成立，所以，所以 所以最大正整数 的值为(1)利用通项与前n项和的关系求数列an的通项公式；由等差中项可知bn是等差数列，由题意可以求出首项和公差，
3、进而求出通项公式；(2)使不等式Tnk/57对一切nN*都成立，此题中的不等式给出的形式就是右边含参数k，左边是关于n的函数关系，即本身已经分离了参数，所以只要(Tn)min k/57，只要直接求有关数列的最值判定数列的单调性，可以由其对应函数的图象判定，也可以比较数列中第n1项与第n项的大小判定 3313231712()1.11(2010)12.3nnnnnnnnnnnf xxaaaaaSfaba SnTbaST设，等差数列中，记 令，数列的前 项和为求的通项公式与；求证：【变式练习】苏州市高考信息卷 31123113311.2733121332.()31.(32)(31)11111(),(
4、32)(31)3 3231111(1).112333nnnnnnnnnnadaadaaaadadanf xxSfaanba SnnbnnnnTn设数列的公差为由 ，解得，所以 因为，所以 证明：因为 ，所以所以【解析】数列中的探索性问题 2*11()4221nnnnnnanSSaa naN各项均为正【数的数列的前 项和为，】求例；*24212()(01)3()()23()nnnnnnnnnnnnna nbcbnbncnTbqaqqqcnbbbqcqc N为奇数令，为偶数求的前 项和；令、为常数，且，是否存在实数对，使得数列成等比数列？若存在，求出实数对，及数列的通项公式；若不存在，请说明理由
5、2211111111221112211111*11110.42420211112,424211()()0,42()(2)0.022)1(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSaaaaaanaSSaaaaaaaaaaaaaaaaan nN 因为，所以 ；当时，-即 因为，所以 ，所以为等差数列，所】以【解析 163328421124212221122123162.3228(22)(22)(22)226(1).22(2*)2nnnnnnnnnnncbbacbbbbancbbbaTnnTn nnN ，当时，此时，；所以 且 22222222221(1)313(1).11130.1310233(
6、)(1)4().243nnnnnqqcnnqqqnqqqqqqc 令所以存在，应用递推公式时要注意下标是正整数，即要注意n的取值范围；对等差数列和等比数列的通项公式和前n项求和公式的特征要熟练掌握并且能够应用本题(3)也可以从特殊到一般，先由c1，c2，c3成等比数列，求出(，q)，再代入检验 14222*.1142429920102nnnnnnadnSbnTaSSbTnSTN已知数列是公差为 的等差数列，它的前 项和为；等比数列的前 项和为若 ，【变，是否存在，使得？若存在，求出来；若不存在，说式练习】明理由 421121122124464241.1(1)2221419931311(1)11
7、33(1).12313nnnnnSSadaddn nnaSnadbTbbqT由 ，得，解得 又 ，所以；由 ，得 ，所以等比数列的公比 ，所以【解析】*2*20101401932010nnnnnnSTnnnSTNNN若存在，使得 ，代入化简得，显然时无解，即不存在，使得 ，数列的实际应用2009500201020.2010600(2010)1500(1)()2nnn某企业年的纯利润为万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预计从年起每年比上一年纯利润减少万元年初该企业一次性投入资金万元进行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第 年年为第一年 的利润为万元 为
8、【例3整数】(1)从2010年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金)，求An和Bn的表达式；(2)依据上述预计，从2010年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？22(50020)(500220)(50020)150020490102111500(1)(1)(1)6002221112250050060011250050.101002nnnnnAnn nnnnBnn 由题意知：，解】【析 234500(500100)(49010)250010(1)102500(1)10(0)
9、213500500(1)103(31)100225005004(1)104(41)100;22.12420 0nnnnxnnnnBAnnnn nyx xnn nnn nnBA 因为函数 在，上是增函数，故当时，；当时，即当时，所以，从年起该企4业至少经过 年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润本题考查利用等差、等比数列的基本知识解决实际问题的能力“每年比上一年纯利润减少20万元”是等差数列模型，“累计纯利润”是求和，因此，本题用等差、等比数列求和的方法求得累计纯利润；“至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润”就是要求出BnAn的最小正整数
10、n.本题是用构造函数，利用单调性的方法解决这个问题的 *(1)()212104000nnabnnb nSnabN某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利 元的前提下，可卖出 件；若作广告宣传，广告费为 千元比广告费为【变式千元时多卖出件试写出销售量与 的函数关系式；当 ，时，厂家应生产多少件这种产品，作几千元的广告，才能获练习3】利最大？01121211022102222221112(2)12121nnnnnnnnnnSbbSSSSbbSSSSbbSbbb 设表示广告费为 元时的销售量由题意知，将上述各式【解相加，得 析】1151040001010001
11、40000(1)1000.25.557875.787552nnnnnnnnnabTTSnnTTTnTTnnS当 ，时，设获利为元由题意知 欲使最大，则，代入解得所以 ，此时 即厂家应生产件这种产品，作 千元的广告，才能获利最大1.如果执行下面的流程图，那么输出的S_.2550 2.(2009陕西)设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlgxn，则a1a2a99的值为_.2 129912991299(1)11(1)(1)0.lg1lglglg1lg()lg2.100nnnnynxknynxnyxaxnaaaxxxxxx，所以 ，切线方程 令 ，因为，所以
12、 解析【】3.(2010苏北四市质量检测卷)在数列an中，已知a12，a23，当n2时，an1是anan1的个位数，则a2010_.【解析】列举出数列an的前几项：2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6，从第3项开始呈周期为6的重复出现，所以a2010a64.4 345344.11134511134nnnnanSSSSSSanSn已知公差不为零的等差数列的前项和为，若与的等比中项为，与的等差中项为，当数列的前 项和取得最大值时 _ 123453412111111345(0).11234124350.1252252nnaaSSSd dSSn nSnadaa dddad 设等差
13、数列的首项为，公差为由题意得由求和公式 并整理，得，解得【解析】11*1232(1).5512320551232105558.332.nnnaandnanannnn N所以 又由，得而，所以 24243245.(2)132.48ijn nnnaijaaa个正数排列如下表所示的行 列：表示第 行第 列的数，其中第一行的每个数从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比相等，若，1112131212223231323331231122331()2nnnnnnnnijnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaijSaaaaS 求 的表达式 用，表示；设，求 的值 334212111133431
14、31124141111-11111()413(2),1,81(3)221(1)(21).iiiijjdqaa qad qaaa qad qdaa qad qqaa qajd qj 设第一行等差数列的公差为，每一列的等比数列的公比为，则由题意有，解得所以【解析】-1112233212321111()21111 23()()2221111112()3()()222222111111()()(),2222214(2)()2nnnnnnnnnnnnnnanSaaaanSnSnSn由，得，所以由得 故 本节内容主要从三个方面考查：一是等差、等比数列的混合运算，要在熟记公式的基础上，巧用等差、等比数列的一
15、些性质，正确列出方程(组)，再灵活、巧妙地运用运算法则，减少运算量，提高解题速度；二是与函数、不等式结合，运用函数的性质求最值或证明不等式；三是解决生活中的实际问题，关键是从等差、等比数列的定义出发思考、分析，建立适当的数学模型，再用通项公式求解，或者通过归纳、验证得出结论，再用数列知识求解1在解决数列实际问题时，首先要弄清需要哪些数列知识，是求通项，还是求和，或是递推关系问题，先将问题数学化，再函数化，最后数列化，即建立恰当的数列模型，进行合理的推理和运算，以得出实际问题所需要的结论(1)一个实际问题，可建立等差数列的模型的必要条件是：离散型的变量问题，且变量取相邻两个值的差是同一个常数(如
16、：利息中的单利问题)(2)一个实际问题，可建立等比数列的模型的必要条件是：离散型的变量问题，且变量取相邻两个值的比是同一个常数(如：增长率、复利、分期付款问题等)(3)在解决数列实际问题时，必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且要准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”2数列是一种特殊的函数解数列综合问题要恰当运用函数、不等式和方程的思想方法等价转化和分类讨论的思想在本节也有重要体现复杂的问题总是要通过转化，变为等差、等比或常见的特殊数列问题来解决3根据等差、等比数列的通项公式及求和公式，列出方程或方程组，求首项和公差或公比，是等差、等比数列混合运算常见的求解过
17、程因而，公式记忆准确无误、消元方法的灵活运用等数学基本功一定要扎实1(2010扬州市调研卷)已知数列an满足：a11，a2x(xN*)，an2|an+1an|.若前2010项中恰好含有666项为0，则x的值为_【解析】从x1开始，逐一列举找规律，即可求解答案：8或9选题感悟：本题将数列与推理知识综合应用，通过特例寻找规律，从而将不熟悉的问题转化为熟悉的问题求解2(2010盐城市第一次调研卷)将正偶数排列如右表，其中第i行第j个数表示为aij(i，jN*)，例如a4318.若aij2010，则ij_.24 68 10 1214 16 18 20 【解析】第n行第n个数是2(123n)n(n1)当
18、n44时，为1980，所以aij2010是第45行第15个数，所以ij451560.答案：60选题感悟：数列与数阵的综合是数列综合应用的常见题型，关键是看清数阵的构成及其规律 124711*231.21(2).nnnnnnnaaaaabbaSbbnnnnb SSN将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表记表中的第一列数，构成的数列为，为数列的前项和，且满足，学(2010金陵中期中卷)a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10 81112491(3)nnSbak k证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同
19、一个正数当时，求上表中第行所有数的和 212112111111221.2)211)1111.21.111211121(1).221nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbnnb SSSbbbSSSSSSSSSSSSSbaSnnSSn由已知，当时，又 ，所以又 所以数列是首项为，公差为 的等差数列所以 ，】则【解析 122221(1)1(1).2(2,*(1)0.12 1312122782nnnnnbSSnnn nnbnnn nqqN所以，当时，因此，设上表中从第三行起，每行中的数构成的等比数列的公比都为，且因为 ，812811313*112781334.9122.13 14(3)1212211121(12)(3)nnkkknkaaab qbqk kSbqSqk kk kkk N所以表中第 行至第行共含有数列的前项，故在表中第行第 列，因此又，所以 记表中第行所有数的和为，则，选题感悟：数表问题常作为高考数列开放性探索问题，将其与等差、等比数列相交汇，使这部分题型的灵活性更强，考查的面更广