1、高考资源网（） 您身边的高考专家第三章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1基本计数原理课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2020浙江期中)某校教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,一学生由一层到五层的走法有()A.10种B.25种C.52种D.24种解析D解析共分4步:一层到二层2种走法,二层到三层2种走法,三层到四层2种走法,四层到五层2种走法,根据分步乘法计数原理,一共有24种.选故D.2.(2021河南信阳模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一
2、个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有()A.30种B.50种C.60种D.90种答案B解析若甲同学选择牛,则乙同学有2种选法,丙同学有10种选法,共有1210=20种满意的选法,若甲同学选择马,则乙同学有3种选法,丙同学有10种选法,共有1310=30种满意的选法,所以总共有20+30=50种令三位同学满意的选法.故选B.3.如果x,yN+,且1x3,x+y7,则满足条件的有序数对(x,y)的个数是()A.15B.12C.5D.4答案B解析当x=1时,y=1,2,3,4,5;当x=2时,y=1,2,3,4;当x=3时
3、,y=1,2,3.由分类加法计数原理得,有序数对有5+4+3=12个.4.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2,且a3a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为()A.240B.204C.729D.920答案A解析分8类.当中间数为2时,有12=2个;当中间数为3时,有23=6个;当中间数为4时,有34=12个;当中间数为5时,有45=20个;当中间数为6时,有56=30个;当中间数为7时,有67=42个;当中间数为8时,有78=56个;当中间数为9时,有89=72个.故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个.5.(2020上
4、海春季高考)已知A=-3,-2,-1,0,1,2,3,a,bA,则|a|b|的情况有种.答案18解析当a=-3时,符合条件的情况有0种;当a=-2时,符合条件的情况有2种;当a=-1时,符合条件的情况有4种;当a=0时,符合条件的情况有6种;当a=1时,符合条件的情况有4种;当a=2时,符合条件的情况有2种;当a=3时,符合条件的情况有0种.依据分类加法计数原理,共有2+4+6+4+2=18种.6.有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有种不同的取法.答案242解析任取两本不同类的书分为三类:取数学、语文各一本;取语文、英语各一本;取数学、英语各一
5、本.在每一类中利用分步乘法计数原理,再利用分类加法计数原理即可.共有109+98+108=242种不同取法.7.椭圆=1的焦点在y轴上,且m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为.答案20解析当m=1时,n=2,3,4,5,6,7,有6种取法;当m=2时,n=3,4,5,6,7,有5种不同取法;当m=3时,n=4,5,6,7,有4种不同取法;当m=4时,n=5,6,7,有3种不同取法;当m=5时,n=6,7,有2种不同取法,故这样的椭圆共有6+5+4+3+2=20个.8.将4种蔬菜种植在如图所示的5块试验田里,每块试验田种植一种蔬菜,相邻试验田不能种植同一种蔬菜
6、,不同的种法有种.(种植品种可以不全)答案324解析分五步,由左到右依次种植,种法分别有4,3,3,3,3种.由分步乘法计数原理,不同的种法有43333=324种.9.某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的情况有多少种?解分两类完成.第一类,甲企业有1人发言,有2种情况,另两个发言人来自其余4家企业,有6种情况,由分步乘法计数原理知有26=12种情况;第二类,3人全来自其余4家企业,有4种情况.根据分类加法计数原理,共有12+4=16种情况.10.若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这五
7、个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同直线共有多少条?解分两类完成.第一类,当A或B中有一个为0时,表示的直线为x=0或y=0,共2条.第二类,当A,B不为0时,直线Ax+By=0被确定需分两步完成:第一步,确定A的值,有4种不同的方法;第二步,确定B的值,有3种不同的方法.由分步乘法计数原理知,共可确定43=12条直线.由分类加法计数原理知,方程所表示的不同直线共有2+12=14条.关键能力提升练11.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图:表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,
8、百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图:如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为()A.46B.44C.42D.40答案B解析按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下:(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),1根以上的算筹可以表示两个数字,运用分步乘法计数原理,则上述情况能表示的三位数的个数分别为2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4
9、,2,2,根据分类加法计数原理,5根算筹能表示的三位数的个数为2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.故选B.12.用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B解析由分步乘法计数原理知:用0,1,9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有91010=900个,组成无重复数字的三位数共有998=648个,因此组成有重复数字的三位数共有900-648=252个.13.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,但甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案的种数为()A.16B.18C
10、.37D.48答案C解析根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有444=64种情况.其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有333=27种方案.则符合条件的参观方案有64-27=37种.故选C.14.5名同学在“五一”的4天假期中,随便选择一天参加社会实践,不同的选法种数是()A.10B.60C.54D.45答案D解析5名同学在“五一”的4天假期中,随便选择一天参加社会实践,不同的选法种数是44444=45,故选D.15.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲乙不参加同一
11、项,则不同的报名方法种数为.答案54解析甲有三个培训可选,甲乙不参加同一项,所以乙有两个培训可选,丙、丁各有三个培训可选,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为3233=54.16.在某运动会的百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛,其中甲、乙、丙3人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.答案2 880解析分两步安排这8名运动员.第1步:安排甲、乙、丙3人,共有1,3,5,7四条跑道可安排,安排方式有432=24种;第2步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,安排方式有54321=120种.所以安排这8人
12、的方式有24120=2 880种.17.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为.答案19解析由题图可知,从A到B有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,依据分类加法计数原理,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.18.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血,有多少种不
13、同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?解从O型血的人中选1人有28种不同的选法.从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血,即无论选择哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事情都能完成,所以由分类加法计数原理,共有28+7+9+3=47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以用分步乘法计数原理,共有28793=5 292种不同的选法.学科素养拔高练19.某学校高二年级有12名语文教师
14、、13名数学教师、15名英语教师,市教育局拟召开一个新课程研讨会.(1)若选派1名教师参会,有多少种派法?(2)若三个学科各派1名教师参会,有多少种派法?(3)若选派2名不同学科的教师参会,有多少种派法?解(1)分三类:第一类选语文老师,有12种不同选法;第二类选数学老师,有13种不同选法;第三类选英语老师,有15种不同选法,共有12+13+15=40种不同的选法.(2)分三步:第一步选语文老师,有12种不同选法;第二步选数学老师,有13种不同选法;第三步选英语老师,有15种不同选法,共有121315=2 340种不同的选法.(3)分三类:第一类选一位语文老师和一位数学老师共有1213种不同的选法;第二类选一位语文老师和一位英语老师共有1215种不同的选法;第三类选一位英语老师和一位数学老师共有1513种不同的选法,共有1213+1215+1315=531种不同的选法.- 5 - 版权所有高考资源网