1、空间向量与立体几何复习与小结 教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。二、重难点分析：本课的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分1、空间向量及其运算：重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系（1）空间向量的线性运算：重点：空间向量的运算和运算律；难点：应用向量解决立体几何中的问题平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及
2、运算律与平面向量类似。（2）空间向量基本定理：重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理。 难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图。（3）两个向量的数量积：重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同。（4）空间向量的直角坐标运算：重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件。难点：向量坐标的确定、公式的应用。2、空间向量的应用重点
3、：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离，难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离。（1）直线的方向向量与直线的向量方程：重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。难点：直线的方向向量，平面的共面向量的选取及其表示。（2）直线与平面的夹角：重点：斜线和平面所成的角（或夹角）的求法。难点：斜线与平面所成的角的求解，公式的灵活运用。三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、知识梳理（一）、基本概念1、共线向量定理：对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使推论：如果
4、l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数，满足等式，其中向量叫做直线l的方向向量 在l上取，则或O是空间任一点，A、B、C三点共线的充要条件是，其中x + y = 1特别地，当时，P为AB的中点，称为线段AB的中点公式2、共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y，使。 推论：空间一点位于平面MBA内的充分必要条件是存在有序实数对（x，y），使 对于空间任一定点O，有对于空间任一定点O，P、M、A、B四点共面的充分必要条件是，其中。3、如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组（x，
5、y，z），使，其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使。4、空间向量的数量积：空间向量的数量积的性质： 空间向量的数量积的运算律： （结合律） （交换律） （分配律） 5、向量的直角坐标运算：设，则设，则 （二）基本方法1、平面法向量的求法：设是平面的一个法向量，其坐标为，利用与平面内的两个不共线向量垂直，其数量积为0列出两个关于的三元一次方程组，取这个方程组的一组非零解即得平面的一个法向量。2、线面角的求法：设是平面的一个法向量，是平面的斜线l的一个方向向量，则直线与平面所成角为arc3、二面角的求法： AB、C
6、D分别是二面角的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为； 设分别是二面角的两个面的法向量，则，这就是二面角（或其补角）的大小。4、点、面距离的求法 设是平面的法向量，AB是平面的斜线段，则点B到平面的距离。（三）、基本练习1、在平行六面体ABCD中，设，则x+y+z=（ A ）A. B. C. D. 2、如图，长方体ABCD中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等的向量是（ A ） A. B. C. D. 3、在正方体ABCD中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（ C ） A. B. C. D. 与P点位置无
7、关 4、如图，正方体ABCD中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为（ B ） A. B. C. D. 5、如图，在正方体ABCD中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面的位置关系是（ B ） A. 相交B. 平行C. 垂直D. 不能确定 6、已知矩形ABCD，PA面ABCD，M、N分别是AB，PC的中点，平面PDC和面ABCD所成的角为，则当_45_时，MN是AB和PC的公垂线段。 7、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：ACBD；AB、CD所成角为60；ADC为等边三角形；AB与平面BCD所成角为60。其中真命题是_ _（请将你认为是真命题的序号都填上）。 （四）作业布置：课本复习题（二）A组中1、3、4、6五、教后反思：
