1、2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（下）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x+1|1，B=x|（）x20，则ARB=（）A（2，1）B（2，1C（1，0）D1，0）2复数的共轭复数的虚部是（）ABC1D13设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D64已知=（1，sin2x），=（2，sin2x），其中x（0，），若|=|，则tanx的值等于（）A1B1CD5执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A45B55C66D110
2、6在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与BC1所成角的大小为（）ABCD7设函数f（x）=sin（2x）的图象为C，下面结论中正确的是（）A函数f（x）的最小正周期是2B函数f（x）在区间（，）上是增函数C图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D图象C关于点（，0）对称8为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A50B40C25D209在ABC中，A=60，AB=2，且ABC的面积为，则BC的长为（）ABC2D210空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）ABCD11给出如下四个命题
3、：若“pq”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；命题“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，x0+10”；函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f（x0）=0；q：x=x0是f（x）的极值点，则p是q的必要条件，但不是 q的充分条件；其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.412定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”有下列“关于t函数”的结论：f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；“关于函数”至少有一个零
4、点；f（x）=x2是一个“关于t函数”其中正确结论的个数是（）A1B2C3D0二、填空题（每小题5分，共20分）13设向量=（x，x+1），=（1，2），且，则x=14若函数f（x）=loga（x+）是奇函数，则a=15为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：根据如图可得这100名学生中体重在60.5，64.5的学生人数是16已知f（x）=sin（0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则=三、解答题（共5小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17已知f（x）=sinx2si
5、n2（0）的最小正周期为3（）当x，时，求函数f（x）的最小值；（）在ABC，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（AC），求sinA的值18已知函数f（x）=x2+（a1）x+b+1，当xb，a时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列an的前n项和为Sn，且Sn=f（n+1）1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn19某机械厂今年进行了五次技能考核，其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，成绩统计情况如茎叶图所示（其中a是09的某个整数）；（1）若该厂决定从甲、乙两人中选派一人去参加技能培训，从成绩稳定性角度考虑，你认为派谁去比较合适？（2）若从甲的
6、成绩中任取两次成绩作进一步分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100之间的概率20已知椭圆的离心率为，且过点若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”（I）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由21已知函数（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当a0时，讨论f（x）的单调性请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号，本小题满分10分选修4-4：坐标系与参
7、数方程22在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为（4sin）=12，定点H（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为HP的中点（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|2，求实数a的取值范围选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（下）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
8、一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x+1|1，B=x|（）x20，则ARB=（）A（2，1）B（2，1C（1，0）D1，0）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解答】解：由A中的不等式解得：1x+11，即2x0，A=（2，0），由B中的不等式变形得：（）x2=（）1，解得：x1，即B=（，1，全集为R，RB=（1，+），则A（RB）=（1，0）故选：C2复数的共轭复数的虚部是（）ABC1D1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出原复数的共轭复数得答案【解答】解：=
9、，复数的共轭复数为i，虚部为1故选：C3设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D6【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1，再由通项公式及am=2可得m值【解答】解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差d=am+1am=1，Sm=0，得a1=2，所以am=2+（m1）1=2，解得m=5，另解：等差数列an的前n项和为Sn，即有数列成等差数列，则，成等差数列，可得2=+，即有0=+，解得m=5故选C4已知=（1，sin2x
10、），=（2，sin2x），其中x（0，），若|=|，则tanx的值等于（）A1B1CD【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据|=|得出，利用平面向量共线定理的坐标表示列出等式，求出sinx、cosx的关系，即可求出tanx的值【解答】解： =（1，sin2x），=（2，sin2x），其中x（0，），若|=|，则，1sin2x2sin2x=0，2sinxcosx=2sin2x；又sinx0，cosx=sinx，tanx=1故选：B5执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A45B55C66D110【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用
11、是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：模拟程序的运行，可得：s=0，i=1，i10，s=1，i=2，i10，s=3，i=3，i10，s=6，i=410，s=10，i=510，s=15，i=610，s=21，i=710，s=28，i=810，s=36，i=910，s=45，i=1010，s=55，i=1110，输出s=5，5，故选：B6在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与BC1所成角的大小为（）ABCD【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角【分析】利用向量加法的三角形法则，可将A
12、B1与C1B的方向向量分别用三棱柱的棱对应的向量表示，进而设BB1=1，AB=，分析出两向量数量积为0，进而得到两直线互相垂直【解答】解：AB=BB1，设BB1=1，AB=，=（+ ）（+ ）=+2+=0+cos1+0=0直线AB1与BC1所成角为，故选：D7设函数f（x）=sin（2x）的图象为C，下面结论中正确的是（）A函数f（x）的最小正周期是2B函数f（x）在区间（，）上是增函数C图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D图象C关于点（，0）对称【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，y=Asin（x+）的图象变换规律，得出
13、结论【解答】解：根据函数f（x）=sin（2x）的周期为=，可得A错误；在区间（，）上，2x（，），故f（x）没有单调性，故B错误；把函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x）的图象，故C错误；令x=，可得f（x）=sin（2x）=0，图象C关于点（，0）对称，故D正确，故选：D8为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A50B40C25D20【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论【解答】解：从1000名学生中抽取40个样本，样本数据间隔为100040=25故选：C9在ABC中，A=60，A
14、B=2，且ABC的面积为，则BC的长为（）ABC2D2【考点】余弦定理【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长【解答】解：在ABC中，A=60，AB=2，且ABC的面积为，ABACsinA=，即2AC=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB22ACABcosA=1+42=3，则BC=故选：B10空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）ABCD【考点】由三视图还原实物图【分析】根据已知中的三视图，结合三视图几何体由两部分组成，上部是锥体，下部为柱体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案
15、【解答】解：由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的正视图的选项是A与D，由左视图可知，选项D不正确，由三视图可知该几何体下部分是一个四棱柱选项都正确，故选A11给出如下四个命题：若“pq”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；命题“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，x0+10”；函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f（x0）=0；q：x=x0是f（x）的极值点，则p是q的必要条件，但不是 q的充分条件；其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【考点】命题的真假判断与应用【分析】，若“pq”为假命题，则p，q
16、至少有一个为假命题，命题的否命题既要否定条件，又要否定结论；，命题的否定，先换量词，再否定结论；，根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：对于，若“pq”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故错；对于，命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”，正确；对于，命题“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，x0+10”，正确；对于，解：函数f（x）=x3的导数为f（x）=3x2，由f（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f（x0）=0成
17、立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故正确；故选：C12定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”有下列“关于t函数”的结论：f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；“关于函数”至少有一个零点；f（x）=x2是一个“关于t函数”其中正确结论的个数是（）A1B2C3D0【考点】函数恒成立问题【分析】举例说明不正确；由函数零点存在性定理结合新定义说明正确；把f（x）=x2代入定义求得的矛盾的值说明错误【解答】解：由题意得，不正确，如f（x）=c0，取t=1，则f
18、（x1）f（x）=cc=0，即f（x）=c0是一个“t函数”；正确，若f（x）是“是关于函数”，则f+f（x）=0，取x=0，则f+f（0）=0，若f（0）、f任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f均不为0，则f（0）、f异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点；若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+）2+x2=0，求得=0且=1，矛盾不正确，正确结论的个数是1故选：A二、填空题（每小题5分，共20分）13设向量=（x，x+1），=（1，2），且，则x=【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的
19、方程，解方程便可得出x的值【解答】解：；即x+2（x+1）=0；故答案为：14若函数f（x）=loga（x+）是奇函数，则a=【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质【分析】由函数是奇函数，将函数的这一特征转化为对数方程解出a的值【解答】解：函数是奇函数，f（x）+f（x）=0即loga（x+）+loga（x+）=0loga（x+）（x+）=0x2+2a2x2=1，即2a2=1，a=又a对数式的底数，a0a=故应填15为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：根据如图可得这100名学生中体重在60.5，64.5的
20、学生人数是24【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图，求出体重在60.5，64.5的频率与频数即可【解答】解：根据频率分布直方图，得；体重在60.5，64.5的频率是（0.05+0.07）2=0.24，对应的学生人数是1000.24=24故答案为：2416已知f（x）=sin（0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定的表达式，进而推出的值【解答】解：如图所示，f（x）=sin，且f（）=f（），又f（x）在区间内只有
21、最小值、无最大值，f（x）在处取得最小值+=2k（kZ）=8k（kZ）0，当k=1时，=8=；当k=2时，=16=，此时在区间内已存在最大值故=故答案为：三、解答题（共5小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17已知f（x）=sinx2sin2（0）的最小正周期为3（）当x，时，求函数f（x）的最小值；（）在ABC，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（AC），求sinA的值【考点】三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin（x+）1，根据周期公式可
22、求，进而求f（x）（I）由x的范围求出的范围，结合正弦函数的图象及性质可求（II）由及f（C）=1可得，结合已知C的范围可求C及 A+B，代入2sin2B=cosB+cos（AC），整理可得关于 sinA的方程，解方程可得【解答】解： =依题意函数f（x）的最小正周期为3，即，解得，所以（）由得，所以，当时，（）由及f（C）=1，得而，所以，解得在RtABC中，2sin2B=cosB+cos（AC）2cos2AsinAsinA=0，sin2A+sinA1=0，解得0sinA1，18已知函数f（x）=x2+（a1）x+b+1，当xb，a时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列an的前n项和为Sn
23、，且Sn=f（n+1）1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）依题意，可求得a=1，b=1，从而得Sn=n2，于是可求得a1及an=SnSn1=2n+1（n2），观察即可求得数列an的通项公式；（2）由（1）得bn=，利用错位相减法可求得Tn=5【解答】解：（1）函数f（x）的图象关于y轴对称，a1=0且a+b=0，解得a=1，b=1，f（x）=x2，Sn=f（n+1）1=（n+1）21=n2+2n即有an=SnSn1=2n+1（n2），a1=S1=1也满足，an=2n+1；（2）由（1）得bn=，Tn=+，Tn=+，得
24、Tn=+=+2=+2=Tn=719某机械厂今年进行了五次技能考核，其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，成绩统计情况如茎叶图所示（其中a是09的某个整数）；（1）若该厂决定从甲、乙两人中选派一人去参加技能培训，从成绩稳定性角度考虑，你认为派谁去比较合适？（2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100之间的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差【分析】（1）由平均分相等求出a=3，由此能求出甲的方差和乙的方差，由甲=乙，求出从成绩的稳定性角度考虑，派甲参加培训比较合适（2）利用列举法求出从甲的成绩中任取两次的所有
25、结果和至少有一次成绩在（90，100之间的所有结果，由此能求出在抽取的成绩中，至少有一次成绩在（90，100之间的概率【解答】解（1）由平均分相等得：甲=乙=90，解得a=3甲的方差： = （8890）2+（8990）2+（9090）2+（9190）2+（9290）2=2，乙的方差= （8490）2+（8890）2+（80+90）2+（9390）2+（9690）2=17.2，因为甲=乙，所以从成绩的稳定性角度考虑，派甲参加培训比较合适（2）从甲的成绩中任取两次的所有结果有：（88，89），（88，90），（88，91）（88，92），（89，90），（89，91），（89，92），（90，91
26、），（90，92），（91，92），共10种；其中至少有一次成绩在（90，100之间的所有结果有：（88，91），（88，92），（89，91），（89，92），（90，91），（90，92），（91，92）共7种所以在抽取的成绩中，至少有一次成绩在（90，100之间的概率P=20已知椭圆的离心率为，且过点若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”（I）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由【考点】椭圆的简单性
27、质【分析】（I）运用离心率公式和基本量a，b，c的关系，代入点，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，运用数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用判别式大于0，韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理，即可得到定值【解答】解：（I）由题意知e=，a2b2=c2，即又，可得a2=4，b2=3，即有椭圆的方程为+=1；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，即，由得（3+4k2）x2+8kmx+4（m23）=0，=64m2k216（3
28、+4k2）（m23）0，化为3+4k2m20x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2+km（）+m2=，代入，即，得：，2m24k2=3，O到直线l的距离为，ABO的面积为，把2m24k2=3代入上式得21已知函数（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当a0时，讨论f（x）的单调性【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）当a=0时，定义域为（0，+），求出f（x）的导函数判断导函数的符号，推出导函数的单调性，然后求解极值、（）当a0时，的定义域为（0，+），
29、求出f（x）的导函数，由f（x）=0得极值点，通过（1）当2a0时，（2）当a=2时，（3）当a2时，分别求解函数的单调区间即可【解答】解：（）当a=0时，定义域为（0，+），f（x）的导函数当时，f（x）0，f（x）在上是减函数；当时，f（x）0，f（x）在上是增函数当时，f（x）取得极小值为，无极大值（）当a0时，的定义域为（0，+），f（x）的导函数为由f（x）=0得，（1）当2a0时，f（x）在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数；（2）当a=2时，f（x）在（0，+）上是减函数；（3）当a2时，f（x）在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数综上所述，当a2时，f（x）在上是减函数
30、，在上是增函数；当a=2时，f（x）在（0，+）上是减函数；当2a0时，f（x）在上是减函数，在上是增函数（）由（）知，当a（，2）时，f（x）在1，3上是减函数对于任意的x1，x21，3，a（，2）都有|f（x1）f（x2）|（m+ln3）a2ln3，对任意a2恒成立，对任意a2恒成立当a2时，实数m的取值范围为请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号，本小题满分10分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为（4sin）=12，定点H（6，0），
31、点P是曲线C1上的动点，Q为HP的中点（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|2，求实数a的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围【解答】解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y24y=12，设点P（x，y），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y24y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x3）2+（y1）2=
32、4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：0，选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）由a0，f（x）=|x+|+|xa|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）2成立（）由f（3）=|3+|+|3a|5，分当a3时和当0a3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求【解答】解：（）证明：a0，f（x）=|x+|+|xa|（x+）（xa）|=|a+|=a+2=2，故不等式f（x）2成立（）f（3）=|3+|+|3a|5，当a3时，不等式即a+5，即a25a+10，解得3a当0a3时，不等式即 6a+5，即 a2a10，求得a3综上可得，a的取值范围（，）2017年4月20日