1、第四章 数 列4.1 数列的概念第1课时 数列的概念与简单表示法新课程标准学业水平要求1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2了解数列是一种特殊函数1.借助实例了解数列的相关概念(数学抽象)2理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项(逻辑推理)3理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式(数学运算、逻辑推理)必备知识自主学习1.数列的有关概念导思1.什么是数列？什么是数列的通项公式？2怎样根据数列的前几项写出数列的通项公式？数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列项数列中的每一个数叫做这个数列的项首项数列的第1项称为首项
2、通项数列中的第n项an叫数列的通项2.数列的表示一般形式：a1，a2，a3，an，；字母表示：上面数列通常记为an数列 1，2，3，4，5 和数列 5，4，3，2，1 是同一个数列吗？提示：数列 1，2，3，4，5 和数列 5，4，3，2，1 不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同3数列的分类类别含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列4.数列的通项公式如果数列an的第n项an与
3、它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式5数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)解析式数列的通项公式值域自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法数列的通项公式 anf(n)与函数解析式 yf(x)有什么异同？提示：数列可以看成以正整数集 N(或它的有限子集1，2，3，n)为定义域的函数 anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值不同之处是定义域：数列中的 n 必须是从 1 开始且
4、连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)1，1，1，1是一个数列()(2)数列1，3，5，7，的第10项是21.()(3)每一个数列都有通项公式()(4)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列()(5)600是数列12，23，34，45，的第24项()提示：(1)1，1，1，1 显然符合数列的概念(2)数列 1，3，5，7，的通项公式是 an2n1，所以第 10 项是 19.(3)某些数列的第 n 项 an 和 n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，若不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式(4)数列除递
5、增、递减数列外，还有不增也不减的常数列以及摆动数列(5)ann(n1)6002425，所以 n24.2已知数列an的通项公式是 ann21，则 122 是该数列的()A第 9 项B第 10 项C第 11 项D第 12 项【解析】选 C.由 n21122 得 n2121，所以 n11.3数列 3，4，5，6，的一个通项公式为()A.ann Bann1 Cann2 Dan2n【解析】选 C.经验证可知，它的一个通项公式为 ann2.4已知数列an的通项公式为 an(1)n，nN，则它的第 8 项是_，第 9项是_【解析】当 n8 时，a8(1)81.当 n9 时，a9(1)91.答案：1 1关键能
6、力合作学习类型一 数列的概念与分类(数学抽象)1下列说法中不正确的是()A.数列 a，a，a，是无穷数列B.1，3，45，7，8，10 不是一个数列C.数列 0，1，2，4，不一定是递减数列D.已知数列an，则an1an也是一个数列【解析】选 B.选项 A，D 显然正确；对于选项 B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以 B 不正确；对于选项 C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列2已知下列数列：2 011，2 012，2 013，2 014，2 015，2 016；1，12，14，12n1，；1，23，35，（1）n1n2n1，；1，0，1，sin n2，；2，4，
7、8，16，32，；1，1，1，1.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号).【解析】为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4 的周期数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列答案：数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析，而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限【补偿训练】给出下列数列：20132020 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列
8、 82，93，105，118，132，147，163，180；无穷多个 3 构成数列 3，3，3，3，；2 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，构成数列2，4，8，16，32，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，常数列是_，摆动数列是_【解析】为有穷数列；是无穷数列，同时也是递增数列；为常数列；为摆动数列答案：类型二 由数列的前几项求通项公式(逻辑推理)【典例】写出数列的一个通项公式，使它的前 4 项是下列各数：(1)1，12，13，14；(2)3，3，15，21；(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；(4)3，5，3，5.四步内容理解题意条件：数列的前四项
9、结论：数列的通项公式思路探求求数列的通项公式时，可考虑将个别项或各项进行适当的变形；数列的通项公式不唯一书写表达(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看成是自然数列的倒数，正负相间用(1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为 an(1)n1n.(2)数列可化为 3，9，15，21，即 31，33，35，37，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数 3，后一个因数为 2n1，故原数列的一个通项公式为 an3（2n1）6n3.(3)原数列可变形为1 110，1 1102，1 1103，1 1104，故数列的一个通项公式为 an1 110n.(4)数列给出前 4 项，其中奇数
10、项为 3，偶数项为 5，所以通项公式的一种表示方法为 an3n,5n.（为奇数）（为偶数）此数列还可以这样考虑，3 与 5 的算术平均数为3524，415，413，因此数列的一个通项公式又可以写为 an4(1)n.题后反思观察、分析数列中各项的特点是最重要的，找项与序号之间的规律，利用熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)进行转换，对于正负符号变化，可用(1)n 或(1)n1 来调整根据数列的前几项求其通项公式的方法据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此
11、进行归纳、联想写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：(1)112，123，134，145；(2)2212，3213，4214，5215；(3)7，77，777，7 777.【解析】(1)这个数列前 4 项的分母都是序号数乘以比序号数大 1 的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an（1）nn（n1），nN*.(2)这个数列的前 4 项的分母都是比序号大 1 的数，分子都是比序号大 1 的数的平方减 1，所以它的一个通项公式为 an（n1）21n1，nN*.(3)这个数列的前 4 项可以变为79 9，79 99，79 999，79 9 999，即79(1
12、01)，79(1001)，79(1 0001)，79(10 0001)，即79(101)，79(1021)，79(1031)，79(1041)，所以它的一个通项公式为 an79(10n1)，nN*.类型三 数列通项公式的应用(数学运算)角度 1 计算指定项【典例】已知数列an的通项公式为 an3n228n.(1)写出此数列的第 4 项和第 6 项；(2)问49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68 是否是该数列的一项呢？【思路导引】(1)将 n4，n6 分别代入 an 求出数值即可；(2)由 3n228n49 和 3n228n68，求得 n 是否为正整数并判断【解析】(1)a43422
13、8464，a636228660.(2)由 3n228n49，解得 n7 或 n73(舍去)，所以49 是该数列的第 7 项；由 3n228n68，解得 n2 或 n343，均不合题意，所以 68 不是该数列的项若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第 3 项和第 8 项；(2)问 20 是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？【解析】(1)因为 an3n228n，所以 a333228357，a838228832.(2)令 3n228n20，解得 n10 或 n23(舍去)，所以 20 是该数列的第 10 项角度 2 确定数列单调性及最值【典例】在数列an中，ann(n8)20，nN*，请回答下
14、列问题：(1)这个数列共有几项为负？(2)这个数列从第几项开始递增？(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由【思路导引】将相邻的后项减前项，运用作差法比较大小【解析】(1)因为 ann(n8)20(n2)(n10)，所以当 0n10，nN*时，an0 时，n72，故数列an从第 4 项开始递增(3)ann(n8)20(n4)236，根据二次函数的性质知，当 n4 时，an 取得最小值36，即这个数列有最小值，最小值为36.通项公式的应用方法1由通项公式写出数列的指定项，主要是对 n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值2判断一个数是
15、否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项3在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 N*(或它的有限子集1，2，3，n)这一约束条件1已知数列an的通项公式为 an1n（n2）(nN*)，那么 1120 是这个数列的第_项【解析】因为1n（n2）1120，所以 n(n2)1012，所以 n10.答案：102已知数列an中，ann225n(nN*)，则数列an的最大项是第_项【解析】因为 ann25222522是关于 n 的二次函数，又 nN*，所以当 n12 或 n13 时，an 最大答案：12 或 133已知数
16、列an的通项公式为 an2n210n4.问当 n 为何值时，an 取得最小值？并求出最小值【解析】因为 an2n210n42n522172，所以当 n2 或 3 时，an 取得最小值，其最小值为 a2a38.备选类型 归纳法求数列的通项公式(逻辑推理)【典例】观察图中 5 个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第 n 个图中有_个小圆圈【解析】观察图中 5 个图形小圆圈的个数分别为 1，121，231，341，451.故第 n 个图中小圆圈的个数为(n1)n1n2n1.答案：n2n1归纳的应用归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识
17、发展规律如图 1 是第七届国际数学教育大会(简称 ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 2 的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图 2 中的直角三角形继续作下去，记 OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列的通项公式为()Aann，nN*Bann1，nN*C.an n，nN*Dann2，nN*【解析】选 C.因为 OA11，OA2 2，OA3 3，OAn n，所以 a11，a2 2，a3 3，an n.课堂检测素养达标1在数列 1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 中，x 等于()A11 B12 C13 D14【解析】选 C
18、.观察可知该数列从第 3 项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故 x5813.2已知数列an的通项公式为 an2n221n，则该数列中的数值最大的项是()A.第 5 项B第 6 项C.第 4 项或第 5 项D第 5 项或第 6 项【解析】选 A.an2n21424418，因为 nN*，5214 6，且 a555，a654，所以数值最大的项为第 5 项3若数列 an 1n1 1n2 12n，则 a5a4()A.110B 110C 190D1990【解析】选 C.依题意知，a5a4151 152 125141 142 12419 110 15 190.4已知数列 2，10，4，2（3n1），则 8 是该数列的第_项【解析】令2（3n1）8，解得 n11.答案：11