1、第3课时 利用导数解决与函数有关的问题关键能力合作学习类型一 函数的图象问题(数学运算、逻辑推理)角度 1 作函数的大致图象【典例】如何画出函数 f(x)2x33x236x16 的大致图象【思路导引】可先求导，判断函数的单调性，进而得出函数的变化趋势【解析】f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2).由 f(x)0 得 x2 或 x3，所以函数 f(x)的单调递增区间是(，2)和(3，).由 f(x)0 得2x3，所以函数 f(x)的单调递减区间是(2，3).由已知得 f(2)60，f(3)65，f(0)16.所以结合函数单调性及以上关键点画出函数 f(x)的大致图象如图所示(答案
2、不唯一).当实数 a 变化时，方程 f(x)a 有几解？【解析】方程 2x33x236x16a 解的个数问题可转化为函数 ya 与 y2x33x236x16 的图象有几个交点的问题，(1)当 a60 或 a65 时，方程 2x33x236x16a 有且只有一解；(2)当 a60 或 a65 时，方程 2x33x236x16a 有两解；(3)当65a60 时，方程 2x33x236x16a 有三解角度 2 由函数零点求参数值或范围【典例】已知函数 f(x)x33xa(a 为实数)，若方程 f(x)0 有三个不同零点，求实数 a 的取值范围【思路导引】求出函数的极值，要使 f(x)0 有三个不同零
3、点，则应有极大值大于 0，极小值小于 0，由此可得 a 的取值范围【解析】令 f(x)3x233(x1)(x1)0，解得 x11，x21.当 x0；当1x1 时，f(x)1 时，f(x)0.所以当 x1 时，f(x)有极大值 f(1)2a；当 x1 时，f(x)有极小值 f(1)2a.因为方程 f(x)0 有三个不同零点，所以 yf(x)的图象与 x 轴有三个交点，如图由已知应有2a0，2a0，解得2a0，且 r0 可得 0r5 3，故函数 V(r)的定义域为(0，5 3).(2)由(1)知 V(r)5(300r4r3)(0r0，故 V(r)在(0，5)上为增函数；当 r(5，5 3)时，V(
4、r)0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数由此可知，V(r)在 r5 处取得极大值，也是最大值，此时 h8，即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大题后反思解题的关键是由题意列出函数解析式，注意实际意义对自变量的制约，求出定义域后在定义域内讨论函数的最值 1利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：(1)当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；(3)所得的结果要符合问题的实际意义2要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法、导数法1电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间的关系为 y13 x3392 x240 x(x0)
5、，为使耗电量最小，则其速度应定为_【解析】由题设知 yx239x40，令 y0，解得 x40 或 x1，故函数 y13 x3392 x240 x(x0)在40，)上递增，在(0，40上递减所以当 x40 时，y 取得最小值由此得为使耗电量最小，其速度应定为 40.答案：402某批发商以每吨 20 元购进一批建筑材料，若以每吨 M 元零售，销售 N(单位：吨)与零售价 M(单位：元)有如下关系：N8 300170MM2，则该批材料零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元【解析】设该商品的利润为 y 元，由题意知，yN(M20)M3150M211 700M166 000，则 y3M2300M1
6、1 700，令 y0 得 M30 或 M130(舍去)，当 M(0，30)时，y0，当 M(30，)时，y0，因此当 M30 时，y 有最大值，ymax23 000.答案：30 23 0003某商店经销一种商品，每件产品的成本为 30 元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交 a 元(a 为常数，2a5)的税收设每件产品的售价为 x 元(35x41)，根据市场调查，日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例已知每件产品的日售价为 40元时，日销售量为 10 件(1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润 L(x
7、)最大，并求出 L(x)的最大值【解析】(1)设日销售量为kex，则 ke40 10，所以 k10e40，则日销售量为10e40ex件则日利润 L(x)(x30a)10e40ex10e40 x30aex.答：该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式为 L(x)10e40 x30aex.(2)L(x)10e4031axex.当 2a4 时，33a3135，当 35x41 时，L(x)0.所以当 x35 时，L(x)取最大值为 10(5a)e5；当 4a5 时，35a3136，令 L(x)0，得 xa31，易知当 xa31 时，L(x)取最大值为 10e9a.综合上述得L(
8、x)max59 a10(5a)e,2a4,10e,4a5.答：当 2a4，每件产品的日售价 35 元时，为 L(x)取最大值为 10(5a)e5；当 4a5，每件产品的日售价为 a31 元时，该商品的日利润 L(x)最大，最大值为 10e9a.类型三 利用导数研究函数的问题(数学运算、逻辑推理)角度 1 恒成立问题【典例】已知函数 f(x)x312 x22x5，当 x1，2时，f(x)7.答案：m7 将本例中的条件“f(x)m”，结果如何？【解析】由上面的解法可知，所以当 x1，2时，f(x)min72，因此 m72.角度 2 证明问题【典例】已知函数 f(x)(x1)ln xx1.证明：(1
9、)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【证明】(1)由题意知 f(x)的定义域为(0，).f(x)x1xln x1ln x1x.因为 yln x 在(0，)内单调递增，y1x 在(0，)内单调递减，所以 f(x)单调递增又 f(1)10，f(2)ln 212 ln 4120，故存在唯一的 x0(1，2)，使得 f(x0)0.又当 0 xx0 时，f(x)x0 时，f(x)0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知 f(x0)0，所以 f(x)0 在(x0，)内存在唯一实根 x.由 x01 得1 1x0.又 f111ln 1
10、1 1f（）0，故1 是 f(x)0在(0，x0)上的唯一实根综上，f(x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 解决不等式恒成立问题常常是将原问题转化为函数的最值或值域问题，我们在解决问题时常用到以下结论：(1)af(x)恒成立af(x)max，即大于函数 f(x)值域的上界；(2)af(x)恒成立a0 时，f(x)2 恒成立，则实数 a 的取值范围是_【解析】由 f(x)ax2 2ln x 得 f(x)2（x2a）x3，又函数 f(x)的定义域为(0，)，且 a0，令 f(x)0，得 x a(舍去)或 x a.当 0 x a 时，f(x)a时，f(x)0.故 x a 是函数 f(x)的
11、极小值点，也是最小值点，且 f(a)ln a1.要使 f(x)2 恒成立，需 ln a12 恒成立，则 ae.答案：e，)课堂检测素养达标1已知函数 f(x)2xln|x|，则 f(x)的大致图象为()【解析】选 A.当 x0 时，f(x)2xln(x)，f(x)2 1x(1)21x 0，所以 f(x)在(，0)上单调递增，则 B，D 错误；当 x0 时，f(x)2xln x，f(x)21x 2x1x，则 f(x)在0，12单调递减，在12，单调递增，所以 A 正确2若直线 ya 与函数 f(x)x33x 的图象有相异的三个公共点，则 a 的取值范围是()A.(2，2)B2，2)C.(2，2
12、D2，2【解析】选 A.令 f(x)3x230，得 x1，则极大值为 f(1)2，极小值为 f(1)2.如图，观察得2a2 时恰有三个不同的公共点3若方程 x33xm0 在0，2上有解，则实数 m 的取值范围是()A.2，2 B0，2C.2，0 D(，2)(2，)【解析】选 A.方程 x33xm0 在0，2上有解，则mx33x，x0，2，求实数 m 的取值范围可转化为求函数的值域问题令 yx33x，x0，2，则 y3x23，令 y0，解得 x1，因此函数在0，1)上单调递减，在(1，2上单调递增，又 x1 时 y2；x2 时，y2；x0 时，y0，所以函数 yx33x，x0，2的值域是2，2，
13、故m2，2，所以 m2，2.4(教材二次开发：练习改编)某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200 x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大【解析】利润为 S(x)(x30)(200 x)x2230 x6 000，S(x)2x230，由 S(x)0，得 x115，当 x0，函数单调递增；当 x115 时，S(x)0 即 x(0，1时，f(x)ax33x10 可化为 a 3x2 1x3.设 g(x)3x2 1x3，则g(x)3（12x）x4，所以 g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此 g(x)maxg124，从而 a4.当 x0，g(x)在区间1，0)上单调递增，因此 g(x)ming(1)4，从而 a4，综上 a4.
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