1、第5节 向心加速度 学习目标 1.知道匀速圆周运动是变速运动,具有指向圆心的加速度向心加 速度。2.知道向心加速度的表达式,并会用来进行简单的计算。3.能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。4.知道向心加速度的公式也适用于变速圆周运动。自主学习 教材提炼 知识梳理 一、匀速圆周运动中加速度的方向 1.做匀速圆周运动的物体,其加速度的方向 ,这个加速度称为 。2.由于匀速圆周运动中向心加速度的方向 ,所以匀速圆周运动既不是 运动,也不是 运动,而是 运动。总指向圆心 向心加速度 时刻在发生变化 匀速 匀加速 变加速 二、向心加速度的大小 公式 an=2vr,计算向心加速度的公式还有 an=
2、。2r v 练一练 1.2013年6月20日,航天员王亚平在“天宫一号”舱内授课,演示了小球做匀速圆周运动。小球运动过程中一定会发生变化的是()A.速率 B.周期 C.加速度 D.角速度 C 解析:向心加速度是矢量,且方向始终指向圆心,因此为变量,选项C 正确。2.关于地球上的物体随地球自转的向心加速度,下列说法正确的是()A.在赤道上的向心加速度最小 B.在地球上各处的向心加速度一样大 C.随着纬度升高,向心加速度逐渐减小 D.在地球上各处的向心加速度都指向地心 C 解析:地球上的物体随地球自转的角速度是相等的,而在赤道上的物体其圆周运动的半径最大,由an=r2可知,选项A,B错误;随着纬度
3、升高,圆周运动的半径逐渐减小,由an=r2可知,选项C正确;地球上各点做圆周运动的圆心在地球自转的转轴上,向心加速度并不都是指向地心,故选项D错误。3.一辆高速列车在试验时以360 km/h的恒定速率在半径为20 000 m的水平面上做匀速圆周运动。则驾驶员做圆周运动的加速度为()A.0 B.0.5 m/s2 C.2.88 m/s2 D.5.0 m/s2 B 解析:驾驶员随列车做圆周运动的速率 v=360 km/h=100 m/s,向心加速度an=2vr=210020000 m/s2=0.5 m/s2,选项 B 正确。4.如图所示,一球体绕轴O1O2以角速度 匀速旋转,A,B为球体上两点,下列
4、说法中正确的是()A.A,B两点具有相同的角速度 B.A,B两点具有相同的线速度 C.A,B两点的向心加速度的方向都指向球心 D.A,B两点的向心加速度之比为21 A 解析:A,B 为球体上两点,因此,A,B 两点的角速度与球体绕轴 O1O2旋转的角速度相同,A 正确;如图所示,A 以 P 为圆心做圆周运动,B 以 Q 为圆心做圆周运动,因此,A,B 两点的向心加速度方向分别指向 P,Q,C 错误;设球的半径为 R,则 A 运动的半径 rA=Rsin 60,B 运动的半径 rB=Rsin 30,ABvv=ABrr=sin60sin30=3;ABaa=22ABrr=3,B,D 错误。要点一 对向
5、心加速度的理解 课堂探究 例1 下列关于圆周运动的加速度、向心加速度的方向说法不正确的是()A.在匀速圆周运动中,向心加速度的方向一定指向圆心 B.在匀速圆周运动中,加速度的方向一定指向圆心 C.在圆周运动中,向心加速度的方向一定指向圆心 D.在圆周运动中,加速度的方向一定指向圆心 D 思路探究:(1)在匀速圆周运动中,速度大小和方向哪个发生变化?(2)在非匀速圆周运动中,速度大小和方向哪个发生变化?(3)向心加速度是描述哪个物理量变化快慢的物理量?加速度是描述哪个物理量变化快慢的物理量?答案:(1)在匀速圆周运动中,速度大小不发生变化,方向时刻在变化。(2)非匀速圆周运动中,速度大小和方向都
6、时刻在变化。(3)向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量,加速度是描述速度(大小和方向)变化快慢的物理量。解析:在圆周运动中(匀速圆周运动和非匀速圆周运动),向心加速度的方向一定指向圆心,故选项A,C正确;由于在匀速圆周运动中,速度的大小不发生变化,因此加速度和向心加速度是相同的,故均指向圆心,选项B正确;在非匀速圆周运动中,向心加速度指向圆心,加速度不指向圆心,选项D不正确。规律方法 圆周运动中的加速度和向心加速度的关系(1)不管物体做什么样的圆周运动,其向心加速度的方向一定指向 圆心。(2)在匀速圆周运动中,加速度的方向一定指向圆心,在非匀速圆周运动中,加速度的方向一般不指向圆心。针对训
7、练1:关于向心加速度,下列说法正确的是()A.它是描述角速度变化快慢的物理量 B.它是描述线速度大小变化快慢的物理量 C.它是描述线速度方向变化快慢的物理量 D.它是描述角速度方向变化快慢的物理量 C 解析:圆周运动的向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小,向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,做圆周运动的物体,其切向加速度改变线速度大小,它是描述线速度大小变化快慢的物理量。向心加速度不改变角速度的大小和方向,故选项A,B,D均错误,C 正确。要点二 向心加速度的表达式及其应用 A.根据公式 an=2vr,可知其向心加速度 an与半径 r 成反比 B.根据公式 an=2r,可知其向
8、心加速度 an与半径 r 成正比 C.根据公式=vr,可知其角速度 与半径 r 成反比 D.根据公式=2 n,可知其角速度与转速 n 成正比 例2 对于做匀速圆周运动的质点,下列说法正确的是()D 思路探究:多变量表达式中,要确定其中两个变量为正比或反比关系,对第三个量有何要求?答案:多变量表达式中,要确定其中两个变量为正比或反比关系,第三个量应为定值。解析:在公式 an=2vr 中,只有当线速度大小为定值时,才能得出“an与半径 r 成反比”的结论,故选项 A 错误;同理选项 B,C 也是错误的,只有选项 D 正确。规律方法 an与r的关系图象 如图甲、乙所示,由an-r图象可以看出:an与
9、r成正比还是反比,要看是恒定还是v恒定。针对训练2:飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可近似看成圆弧,如果这段圆弧的半径r=800 m,飞行员能承受的最大加速度为8g(g=10 m/s2),则飞机在最低点的速度不得超过多少?解析:飞机在最低点做圆周运动,其向心加速度不得超过 8g 才能保证飞行员的安全,由 an=2vr,得 v=na r=8 10800 m/s=80 10 m/s。答案:80 10 m/s 课堂达标 1.下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是()A.匀速运动 B.匀加速运动 C.加速度不变的曲线运动 D.变加速曲线运动 D 解析:匀速圆周运动是变速运动,它的加速度大小不变,方向始终
10、指向圆心,是变量,故匀速圆周运动是变加速曲线运动,选项A,B,C错误,D正确。2.航天训练中心通常应用离心机对航天员进行超重模拟训练。如图所示为目前我国航天员中心用来训练的载人离心机,若其旋转手臂长L,航天员在训练舱中训练时达到8倍重力加速度,则此时航天员做圆周运动的线速度大小为()B A.8gL B.8gL C.8gL D.8gL 解析:由 an=2vr 得,v=na L=8gL。3.一只质量为m的老鹰,以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动,则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是()C 解析:根据 an=2vr 可知选项 A,B 错误;由于老鹰在水平面内运动,向心加速度始终指向圆心,所以
11、向心加速度的方向在水平面内,选项C正确,D错误。A.大小为22vr B.大小为 g-2vr C.方向在水平面内 D.方向在竖直面内 4.如图所示为一辆处于静止状态的自行车,前、后轮的半径都为0.3 m,若使自行车后轮架空(前轮未离地),用手以每秒1圈顺时针转动踏脚 板,A,B点在轮缘上,C点在辐条上,则以下说法正确的是()A.B点的瞬时速度为0.3 m/s B.B,C两点的角速度为21 C.B点向心加速度一定比C点的大 D.若在骑行时,A点的瞬时速度向前 C 解析:B 点的瞬时速度 v=2rT,因为大轮与飞轮的半径比未知,不可得,即A 选项错误;B,C 两点同绕后轮的轴心转动,角速度相同,B
12、选项错误;由向心加速度 an=2r,rBrC,可得 B 点向心加速度比 C 点的大,C 选项正确;若在骑行时,A 点的速度方向向后,D 选项错误。5.在光滑水平面上有两个质点A和B,其中质点A绕O点做圆周运动,圆周半径为R,线速度大小为v0,而质点B做匀变速直线运动。在图中所示时刻,A,B两质点的速度大小和方向相同。若要此后某一时刻,质点B和A的速度大小和方向又相同。求:(1)质点B的加速度a应满足什么条件?解析:(1)此后某一时刻质点 B 和 A 的速度大小和方向相同,则质点 B 必先减速后加速,且是回到出发点,即其运动时间为 tB=02va;又要使两质点速度方向相同,则质点 A 的运动时间为 tA=(n+12)T,式中 T=02Rv,而 tB=tA,综合解得 a=202(21)vnR(n=0,1,2,3,)。答案:(1)a=202(21)vnR(n=0,1,2,3,)解析:(2)取 n=0 即得最大加速度 am=202vR。答案:(2)202vR (2)满足上述要求的加速度的最大值为多少?
