1、5.2.2 导数的四则运算法则5.2.3 简单复合函数的导数必备知识自主学习导思1.导数的四则运算是如何进行的？有何种运算法则？2复合函数是如何定义的？怎样求复合函数的导数？1.导数的四则运算法则 (1)如果f(x)的导数为f(x)，c为常数，则函数f(x)c的导数是什么？提示：由于常函数的导数为0，即(c)0，由导数的运算法则1，得f(x)cf(x).(2)如果f(x)的导数为f(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是什么？提示：由于常函数的导数为0，即(c)0，由导数的运算法则2，得cf(x)cf(x).(3)两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？提示：
2、能推广容易证明：f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x).2复合函数及其导数(1)定义：一般地，对于两个函数 yf()u和 ug()x，如果通过中间变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf()u和 ug()x的复合函数，记作 yf()g()x.(2)求导法则：对于复合函数 yf()g()x，yx_，即 y 对 x 的导数等于_的导数与_的导数的乘积yuuxy对u u对x 1对函数y1（3x1）4 求导时如何选取中间变量？提示：对于函数y1（3x1）4，可令u3x1，yu4；也可令u(3x1)4，y1u.显然前一种形式更有利于计算2函数ylog2(x1
3、)是由哪些函数复合而成的？提示：函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个函数复合而成的1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若 yx1x，则 y11x2.()提示：由yx1x，得y1 1x2(2)若 yx2cos x，则 y2x sin x()提示：由yx2 cos x，得y2x cos xx2 sin x(3)若 ysin xx，则 ycos x()提示：由ysin xx，得yx cos xsin xx2.(4)若 y3x2e2x，则 y6x2ex.()提示：根据导数四则运算法则，y(3x2)(e2x)6x2e2x.2已知函数f(x)cos xln x，则f(1)的值为()A
4、.1sin 1 B1sin 1C.sin 11 Dsin 1【解析】选 A.因为 f(x)sin x1x，所以 f(1)sin 111 1sin 1.3(教材例题改编)函数yln(x2)的导数是_【解析】因为yln(x2)，所以yln(x2)1x2(x2)1x2.答案：y 1x24函数ysin2x1 是由_三个函数复合而成的【解析】设vsinx，则yv21，设uv21，则y u.而y u 为基本初等函数答案：y u，uv21，vsin x关键能力合作学习类型一 利用运算法则求函数的导数(数学抽象、数学运算)1设y2exsin x，则y等于()A.2excos x B2exsin xC.2exs
5、in x D2ex(sin xcos x)【解析】选D.因为y2exsin x，所以y2exsin x2excos x2ex(sin xcos x).2若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0【解析】选B.因为f(x)4ax32bx，所以f(1)4a2b2，所以f(1)4a2b(4a2b)2.3(2021徐州高二检测)已知函数f(x)x22xf(1)，则f(0)()A.4 B4 C2 D2【解析】选A.由f(x)x22xf(1)，则f(x)2x2f(1)，令x1，则f(1)212f(1)，解得f(1)2，令x0，所以f(0)202f(1)4.4(20
6、20全国卷)设函数f(x)exxa.若f(1)e4，则a_【解析】由函数的解析式可得：f()xexxa exxa 2exxa1xa 2，则 f()1e11a11a 2aea1 2，所以aea1 2 e4，所以 a22a10，解得：a1.答案：1 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式(2)如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的
7、求导法则求导【补偿训练】1.已知f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值为()A.193 B103 C133 D163【解析】选B.因为f(x)ax33x22，所以f(x)3ax26x，又f(1)3a64，所以a103.2.x2x _【解析】x2x 2xx2x ln 2（2x）21x ln 22x.答案：1x ln 22x类型二 复合函数的导数(数学抽象、数学运算)【典例】求函数yxe12x的导数四步内容理解题意条件：函数是两个函数的积其中一个函数是复合函数结论：求函数的导函数思路探求利用导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，逐步求导书写表达ye12xx(e12x)e12xxe12x
8、(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x题后反思解决本题关键是正确区分所给函数是怎样构成的，以及是否存在复合函数求复合函数的导数的步骤提醒：(1)内、外层函数通常为基本初等函数(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数的导数时的易错点(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁1已知f(x)sin 2xe2x，则f(x)()A2cos 2x2e2xBcos 2xe2xC.2sin 2x2e2xDsin 2xe2x【解析】选A.根据题意，f(x)sin 2xe2x，则f(x)2cos 2x2e2x.2已知f(x)ln(2x1)ax，且f(2)1，则a
9、()A.75B65C35D45【解析】选 A.f(x)22x1 a，所以 f(2)25 a1，解得 a75.3(2021徐州高二检测)下列求导运算正确的是()A.(2x2)2x B(ex)exC.(ln x)1xDx1x 1 1x2【解析】选B.(2x2)4x，(ex)ex，(ln x)1x，x1x 1 1x2，只有B正确类型三 导数运算法则的综合应用(数学抽象、数学运算)角度1 与切线有关的问题【典例】曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A 5B2 5 C3 5D0【思路导引】可先设出曲线的切点坐标，求出与直线2xy30平行的切线方程，这两直线间的距离即为所求【解析】选
10、A.设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行因为y22x1，所以y|xx022x01 2，解得x01，所以y0ln(21)0，即切点坐标为(1，0).所以切点(1，0)到直线2xy30的距离为d|203|41 5，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是 5.本例中的条件变为“曲线yln(2x1)上的点到直线2xym0的最小距离为2 5”，求m的值【解析】由题意可知，设切点 P(x0，y0)，则0 x xy22x01 2，所以 x01，即切点 P(1，0)，所以|20m|52 5，解得 m8 或12.即实数 m 的值为 8 或12.角度2 与参数有关
11、的问题【典例】设f(x)ln(x1)x1 axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线y32 x在(0，0)点相切求a，b的值【思路导引】由曲线过(0，0)点可求得b的值；利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合已知条件列等式可求得a的值【解析】由曲线yf(x)过(0，0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)x1 axb，得f(x)1x1 12x1a，则f(0)112 a32 a，此即为曲线yf(x)在点(0，0)处的切线的斜率由题意，得32 a32，故a0.利用导数的几何意义解题时的注意点(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不
12、是，需将切点坐标设出(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个1已知函数f(x)aexxb，若函数f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y2x3，则ab的值为()A1 B2 C3 D4【解析】选B.因为f(x)aex1，所以f(0)a12，解得a1，f(0)ab1b3，所以b2，所以ab2.2设P是曲线yx12 x2ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为，则的
13、取值范围是_【解析】由yx12 x2ln x，得y1x1x(x0)，因为1x1x 1x1x 12x1x 1，当且仅当x1时等号成立所以y1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于1，所以tan 1，又0，)，所以2，34.答案：2，34课堂检测素养达标1函数f(x)exx sin x7x在x0处的导数等于()A6 B6 C4 D5【解析】选A.f(x)(ex)(x sin x)(7x)exsin xx cos x7，所以f(0)e076.2下列函数不是复合函数的是()Ayx31x 1Bycos x4Cy 1ln xDy(2x3)4【解析】选A.A中的函数是一个代数式函数，运用导数的四则运算求导，
14、B中的函数可看作函数ux4，ycos u的复合函数，C中的函数可看作函数uln x，y1u 的复合函数，D中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数3(多选)(2021长沙高二检测)已知函数f(x)x2f(0)xf(0)cos x2，其导函数为f(x)，则正确的是()Af(0)1 Bf(0)1Cf(0)1 Df(0)1【解析】选BC.因为f(x)x2f(0)xf(0)cos x2，所以f(0)2f(0)，因为f(x)2xf(0)f(0)sin x，所以f(0)f(0)，故f(0)f(0)1.4(教材练习改编)已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_【解析】因为f(x)33x1，所以f(1)3
15、31 32.答案：325设曲线yeax在点(0，1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_【解析】令yf(x)，则曲线yeax在点(0，1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，a2.答案：2【补偿训练】曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为()Axy10 B2xy210C2xy210 Dxy10【解析】选C.因为y2cos xsin x，所以y|x2cos sin 2，则y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.6求函数ysinnx cosnx的导数【解析】y(sinnx)cosnxsinnx(cosnx)n sinn1x(sinx)cos nxsinnx(sinnx)(nx)n sinn1xcosxcos nxsinnxsinnxnn sinn1x(cosx cos nxsin x sin nx)n sinn1x cos(n1)x.