1、第三节几何概型授课提示：对应学生用书第174页基础梳理1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布3几何概型的概率公式P(A).1一个概念一测度几何概型的概率公式中的“测度(即构成事件的区域)”只与大小有关，而与形状和位置无关2两种方法判断几何概型几何度量形式的两种方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则
2、几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量是否在等可能变化的区域四基自测1(基础点：面积型的几何概型)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案：A2(基础点：区间长度型的几何概型)在区间2，3上随机选取一个数X，则 X1的概率为()A.B.C. D.答案：B3(基础点：时间型几何概型)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间少于20分钟的概率为_答案：4(基础点：面积型的几何概型)求在半径为r的圆内随机撒一
3、粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率为_答案：授课提示：对应学生用书第174页考点一与长度型有关的几何概型挖掘1与线段长度有关的几何概型/ 自主练透例1(2020长春模拟)已知线段AC16 cm，先截取AB4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为_解析设长方体的长为x，宽为12x，由4x(12x)128，得x212x320，4x8，即在线段BC内，截取点D，满足BD(4，8)，其概率为.答案挖掘2与角度有关的几何概型/ 互动探究例2如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yO
4、T内的概率为_解析因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在yOT内的概率为.答案挖掘3与时间有关的几何概型/ 互动探究例3某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：158：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是()A.B.C. D.解析该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB，且AB40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB，且CB15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P，故选D.答案D挖掘4与不等式有关的
5、几何概型/ 自主练透例4在区间0，2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()A.B.C.D.解析由1log1，得x2，0x，P.答案A破题技法与长度型有关的几何概型的常见类型题点解读适合题型与线段长度有关将已知总长度的线段截断型的概率明显的线段长度与角度有关点的旋转、形成角度的概率点(射线) 旋转问题与时间有关将某段时间进行分段的概率时间分段问题与不等式有关解不等式其解集是一个变量的范围的概率一元不等式问题考点二与面积有关的几何概型及模拟试验挖掘1与平面几何的面积有关/ 互动探究例1(1)(2017高考全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色
6、部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.解析设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为224，圆的面积为12，图中黑色部分的面积为，则此点取自黑色部分的概率为.答案B(2)(2020福州质检)如图，在菱形ABCD中，AB2，ABC60，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是_解析依题意，菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为1的圆的面积，菱形ABCD的面积为22sin 602.所以该点落在阴影部分的概率P11.答案1挖掘2与解析几何有关的面积/ 互动探究例2(1)已知
7、以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数yx3的图像如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，则该小米落入阴影部分的概率为()A.B.C.D.解析由图形的对称性知，所求概率为.故选B.答案B(2)(2020湖南衡阳联考)已知圆C：(x2)2y22，在圆C内随机取一点M，直线OM交圆C于A，B两点(O为坐标原点)，则|AB|2的概率为_解析由已知得C(2，0)，当|AB|2时，ACB90，所以当|AB|2时，点M在如图所示的阴影部分，S阴影22，所以|AB|2的概率P.答案挖掘3随机模拟的应用/ 互动探究例3(2020安徽合肥模拟)如图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的
8、值随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N，落在正六边形内切圆内的豆子个数为M，则估计圆周率的值为()A. B. C.D.解析设正六边形的边长为1，则其内切圆的半径为，依题意得，解得，故选D.答案D破题技法与面积有关的几何概型：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解考点三与体积有关的几何概型例(2020长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_解析V正238，V半球13.，P1.答案1破题技法与体积有关的几何概型：对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解