1、第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式授课提示：对应学生用书第 53 页基础梳理1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2xcos2x1(2)商数关系：sin xcos xtan_x2三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 1“一个口诀”诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”与“偶”指的是 k2 中的整数 k 是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变“符
2、号看象限”指的是在 k2 中，将 看成锐角时 k2 所在的象限2两个注意(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论(2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论3两个推广tan(2)cos sin，tan(2)cos sin.四基自测1(基础点：同角关系)已知 sin 55，2，则 tan()A2 B2C.12D12答案：D2(基础点：诱导公式)sin 210cos 120的值为()A.14 B 34C32D 34答案：A3(基础点：诱导公式)tan 225_答案：1授课提示：对应学生用书第 54 页考点一 同角三角函数关系的应用挖掘 1
3、 公式的直接应用/自主练透例 1(1)(2020济南质检)若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan()A.125 B125C.512D 512解析 cos 1sin2 1213，tan sin cos 512.答案 D(2)已知 cos k，kR，2，则 sin()A 1k2B1k2C 1k2D 1k2解析 由 cos k，kR，2，可知 k0，设角 终边上一点 P(k，y)(y0)，OP1，所以k2y21，得 y1k2，由三角函数定义可知 sin 1k2.答案 B在本例(1)中，如果只知 sin 513，则 tan _答案：512挖掘 2 关于 sin、cos 的齐次式问题/互动探究
4、例 2(1)(2020平顶山联考)已知sin 3cos 3cos sin 5，则 cos212sin 2()A.35B35C3 D3解析 由sin 3cos 3cos sin 5 知 tan 2，cos2 12sin 2cos2sin cos sin2cos21tan 1tan235.答案 A(2)已知 tan 43，求 2sin2sin cos 3cos2 的值解析 sin2cos21，cos 0，原式2sin2sin cos 3cos2sin2cos22tan2tan 3tan21243243 31432 725.挖掘 3“sin cos”“sin cos”及“1”之间的转化/自主练透例
5、3(1)已知 sin cos 43，0，4，则 sin cos 的值为()A.23 B 23C.13D13解析 因为(sin cos)2sin2cos22sin cos 12sin cos 169，所以2sin cos 79，则(sin cos)2sin2cos22sin cos 12sin cos 29.又因为 0，4，所以 sin cos，即 sin cos 0，所以 sin cos 23.答案 B(2)sin21sin22sin289_解析 因为 sin 1cos 89，所以 sin21sin289cos289sin2891，同理sin22sin2881，sin244sin2461，而
6、sin24512，故原式44124412.答案 4412(3)(2018高考全国卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin()_解析 sin cos 1，cos sin 0，22 得 12(sin cos cos sin)11.sin cos cos sin 12，sin()12.答案 12破题技法 同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式 tan sin cos 化成正弦、余弦，或者利用公式sin cos tan 化成正切表达式中含有 sin，cos 与 tan“1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan4(sin cos)22si
7、n cos 表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin cos)212sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有 sin cos 或 sin cos 次幂升降(1)对于含有根号的，即形如 A(其中 A 是可以转化为形如 a2 的三角函数式)的式子，常把根号下的式子化为完全平方式，根据二次根式的性质化简或求值.(2)对于含有高次的三角函数式，一般借助于因式分解、约分、构造 sin2cos21 来降低次数出现根号或高次幂的结构形式考点二 诱导公式的应用例(1)已知 cos6 23，则 sin23 _解析 sin23 sin23 sin3 sin3sin26 cos6 23.答案 23(2
8、)设 f()2sin（）cos（）cos（）1sin2cos32 sin22(12sin 0)化简 f()；若 236，求 f()的值解析 f()（2sin）（cos）（cos）1sin2sin cos22sin cos cos 2sin2 sin cos（2sin 1）sin（2sin 1）cos sin 1tan.当 236 时，f()f(236)1tan2361tan461tan 6 133 3.破题技法 1.诱导公式的作用是异角化同角：任意角的三角函数 负化正 正角的三角函数 大化小 0360角的三角函数 小化锐 锐角的三角函数2应用诱导公式时，注意：(1)明确函数名是变，还是不变；(
9、2)明确函数值符号是正还是负；(3)明确是否直接用公式；(4)明确各公式的应用顺序3含 2 整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2 的整数倍的三角函数式中可直接将 2的整数倍去掉后再进行运算若本例(1)中条件不变，求 sin43 的值解析：sin43 sin326cos6 23.考点三 同角关系的诱导公式的综合应用挖掘 1 以化为“同名”函数为主线/自主练透例 1(1)已知 tan 2，则 cos()cos2 的值为_解析 依题意得 cos()cos2 cos sin cos sin cos2sin2 tan 1tan225.答案 25(2)已知 0，2，tan 2，求
10、 cos4 值解析 由题意得sin cos 2sin2cos21，0，2.sin 25，cos 15.cos4 cos cos4sin sin4 22 25 15 3 1010.挖掘 2 以化为“同角”函数为主线/互动探究例 2(1)已知 sin6 cos 33，则 cos6()A2 23 B.2 23C13D13解析 由 sin6 cos 33，展开化简可得 sin3 13，所以 cos6 cos23 sin3 13.故选 C.答案 C(2)已知是第四象限角，且 sin4 35，则 tan4 _解析 因为 是第四象限角，且 sin4 35，所以 4为第一象限角，所以 cos4 45，所以 t
11、an4 sin4cos4cos24sin24cos4sin443.答案 43(3)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若 sin 13，则 sin _解析 与 的终边关于 y 轴对称，则 2k，kZ.2k，kZ.sin sin(2k)sin 13.答案 13挖掘 3 以“变式”为主线/互动探究例 3(1)已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 019)的值为()A1 B1C3 D3解析 因为 f(4)3，所以 asin bcos 3，故 f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin
12、bcos (asin bcos)3.答案 D(2)(2020福州调研)已知 为锐角，且 2tan()3cos(2)50，tan()6sin()10，则 sin _解析 由已知得2tan 3sin 50tan 6sin 10tan 3，即sin cos 3，又 sin2cos21，为锐角，sin 3 1010.答案 3 1010破题技法 1.先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角 的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系求解，用诱导公式时务必先使其符合公式形式：变其角，合其形，求其值2诱导公式与同角关系式结合起来，进行“三变”，变角、变名、变式变名：主要是沟通已知与所求函数名之间的联系，进行转化，正弦余弦，切弦变角：主要沟通已知角与所求角间的联系：用已知角表示所求角