1、热点突破热点突破高考导航 立体几何是研究空间几何体的基础和必备内容，也是历年高考命题的热点其中有两个：一是空间几何体的表面积、体积的求解，试题难度不大；二是空间平行与垂直关系的证明与探索性问题，难度中等热点突破热点一 求解空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积多以常见几何体或与球的接、切组合体考查，主要考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力求解几何体的表面积时，要考虑全面；求解棱锥的体积时，等体积转化是常用的思想方法，转化原则是其高易求底面放在已知几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解热点突破【例1】(2014南京模拟
2、)已知点P，A，B，C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60角，PAPBPC1 cm，则球的表面积为_cm2.审题流程一审：由条件画出球内接三棱锥；二审：三棱锥与球半径的关系计算球半径三审：表面积的计算热点突破解析 如图，取 AB 的中点 M，连接 PM、CM，过 P 作棱锥的高PN，则垂足 N 必在 CM 上，连接 AN.棱锥的四个侧面都是边长为 1 的正三角形，故可得 CMPM 32，从而 CN23CM 33，在 RtPCN 中，可求得 PN 63，热点突破连接 AO，则 ANCN 33，设 AOPOR，则在 RtOAN 中，有 R263 R 2332，解得 R 64.球的表面
3、积 S4R232(cm2)答案 32热点突破探究提高 组合体的表面积与体积的求解是高考考查的重点，解决此类问题可通过分割或补形将组合体变为规则的柱体、锥体、球等几何体的表面积和体积问题，然后根据几何体表面积与体积的构成用它们的和或差来表示在求解过程中应注意两个问题，一是注意表面积与侧面积的区别，二是注意几何体重叠部分的表面积、挖空部分的体积的计算热点突破【训练1】(1)(2015扬州中学模拟)在正三棱锥PABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN平面PBC，则此棱锥中侧面积与底面积的比为_第(1)题图 热点突破(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一
4、点，则三棱锥ADED1的体积为_第(2)题图热点突破解析(1)取 BC 的中点 D，连接 AD，PD，且 PD 与 MN 的交点为 E.因为 AMAN，E 为 MN 的中点，所以 AEMN，又截面AMN平面 PBC，所以 AE平面 PBC，则 AEPD，又 E 点是PD 的中点，所以 PAAD.设正三棱锥 PABC 的底面边长为 a，则侧棱长为 32 a，斜高为 22 a，则此棱锥中侧面积与底面积的比为312a 22 a34 a2 6.热点突破(2)VADED1VEADD113SADD1CD1312116.答案(1)6(2)16热点突破热点二 空间平行关系和垂直关系直线与平面的位置关系是立体几
5、何的核心内容，高考始终把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点，以多面体为载体的线面位置关系的论证是历年必考内容，其中既有单独考查直线和平面的位置关系的试题，也有以简单几何体体积的计算为载体考查直线和平面的位置关系的试题从内容上看，主要考查对定义、定理的理解及符号语言、图形语言、文字语言之间的相互转换；从能力上来看，主要考查考生的空间想象能力和逻辑思维能力.热点突破【例2】(14分)(2014北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求
6、三棱锥EABC的体积热点突破(1)证明 在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.所以BB1AB.(1分)又因为ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.(2分)所以平面ABE平面B1BCC1.(3分)热点突破图1 (2)证明 法一 如图 1，取 AB 中点 G，连接 EG，FG.(4 分)因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 FGAC，且 FG12AC.(6 分)因为 ACA1C1，且 ACA1C1，所以 FGEC1，且 FGEC1.所以四边形 FGEC1 为平行四边形所以 C1FEG.(8 分)又因为 EG平面 ABE，C1F平面 ABE，所以 C1F平面 AB
7、E.(10 分)热点突破法二 如图 2，取 AC 的中点 H，连接 C1H，FH.(4 分)因为 H，F 分别是 AC，BC 的中点，所以 HFAB，(6 分)又因为 E，H 分别是 A1C1，AC 的中点，所以 EC1 綊 AH，所以四边形 EAHC1 为平行四边形，(8 分)所以 C1HAE，又 C1HHFH，AEABA，所以平面 ABE平面 C1HF，又 C1F平面 C1HF，所以 C1F平面 ABE.(10 分)图2 热点突破(3)解 因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 AB AC2BC2 3.(12 分)所以三棱锥 EABC 的体积V13SABCAA11312 312 33.
8、(14 分)热点突破构建模板 证明线面平行问题(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线第二步：证明线线平行第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行第四步：反思回顾检查关键点及答题规范热点突破证明线面平行问题(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行第四步：转化为线面平行第五步：反思回顾，检查答题规范热点突破证明面面垂直问题第一步：根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线第二步：结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条
9、相交直线第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面第四步：转化为面面垂直第五步：反思回顾，检查答题规范热点突破探究提高 线线、线面关系是立体几何的核心内容之一，它在空间线面位置关系的推理证明中起着承上启下的桥梁作用证明线面位置关系不仅要考虑线面位置关系的判定和性质，更要注意几何体中几何特征的灵活应用证明的依据是空间线面位置关系的判定定理和性质定理，根据线线、线面、面面的平行与垂直的相互转化另外，根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意几何体中数据的正确利用热点突破【训练 2】如图 1，在边长为 1 的等边ABC 中，D，E 分别是AB，AC 上的点，ADAE，F 是 BC 的
10、中点，AF 与 DE 交于点 G.将ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 ABCF，其中 BC 22.(1)证明：DE平面 BCF；(2)证明：CF平面 ABF；(3)当 AD23时，求三棱锥FDEG 的体积 VFDEG.热点突破(1)证明 在折叠后的图形中，仍有 ADAE，ABAC，因此ADABAEAC，从而 DEBC.因为 DE平面 BCF，BC平面 BCF，所以 DE平面 BCF.热点突破(2)证明 在折叠前的图形中，因为ABC 为等边三角形，BFCF，所以 AFBC，则在折叠后的图形中，AFBF，AFCF，又 BFCF12，BC 22.所以 BC2BF2CF2，所以 BF
11、CF.又 BFAFF，BF平面 ABF，AF平面 ABF，所以 CF平面 ABF.热点突破(3)解 由(1)知，平面 DEG平面 BCF，由(2)知 AFBF，AFCF，又 BFCFF，所以 AF平面 BCF，所以 AF平面 DEG，即 GF平面 DEG.在折叠前的图形中，AB1，BFCF12，AF 32.由 AD23，知ADAB23，又 DGBF，所以DGBFAGAFADAB23，所以 DGEG231213，AG23 32 33，热点突破所以 FGAFAG 36.故 V 三棱锥 FDEGV 三棱锥 EDFG1312DGFGGE16132 36 3324.热点突破热点三 线面位置关系中的探索性
12、问题立体几何中的探索性问题在近几年的高考中经常出现，这种题型有利于学生的归纳、判断等各方面能力的培养，也有利于创新意识的培养立体几何中的探索性问题的主要类型有：(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；(2)探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么热点突破【例3】(2014南京调研)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACBC，E在线段B1C1上，B1E3EC1，ACBCCC14.(1)求证：BCAC1；(2)试探究：在AC上是否存在点F，满足EF平面A1ABB1？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由热点突破(1)证明 AA1平面ABC，BC平面
13、ABC，BCAA1.又BCAC，AA1ACA，BC平面AA1C1C，又AC1平面AA1C1C，BCAC1.热点突破审题流程一审：条件：B1E3EC1与结论：EF平面A1ABB1猜想点F的位置二审：证明EF平面A1ABB1，从两个角度入手：一是在平面A1ABB1内作辅助线与EF平行；二是作EF所在平面与平面A1ABB1平行三审：规范答题过程热点突破(2)解 法一 当 AF3FC 时，EF平面 A1ABB1.证明如下：如图 1，在平面 A1B1C1 内过点 E 作 EGA1C1 交 A1B1 于点 G，连接 AG.B1E3EC1，EG34A1C1，又 AFA1C1 且 AF34A1C1，AFEG
14、且 AFEG，四边形 AFEG 为平行四边形，图1 热点突破EFAG，又 EF平面 A1ABB1，AG平面 A1ABB1，EF平面 A1ABB1.热点突破法二 当 AF3FC 时，FE平面 A1ABB1.证明如下：如图 2，在平面 BCC1B1 内过点 E 作 EGBB1 交 BC 于点 G，连接 FG.EGBB1，EG平面 A1ABB1，BB1平面 A1ABB1，EG平面 A1ABB1.B1E3EC1，BG3GC，FGAB，又 AB平面 A1ABB1，FG平面 A1ABB1，FG平面 A1ABB1.热点突破又 EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG，平面 EFG平面 A1ABB1.E
15、F平面 EFG，EF平面 A1ABB1.图2 热点突破探究提高(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设热点突破【训练 3】如图，A，B，C，D 为空间四点，在ABC 中，AB2，ACBC 2，等边ADB 以 AB 为轴转动(1)当平面 ADB平面 ABC 时，求 CD 的长；(2)当ADB 转动
16、时，是否总有 ABCD？证明你的结论热点突破解(1)取 AB 的中点 E，连接 DE，CE.ADB 是等边三角形，DEAB.当平面 ADB平面 ABC 时，平面 ADB平面 ABCAB，DE平面 ABC，可知 DECE.由已知可得 DE 3，EC1.在 RtDEC 中，CD DE2EC22.热点突破(2)当ADB 以 AB 为轴转动时，总有 ABCD.证明如下：当 D 在平面 ABC 内时，ACBC，ADBD，C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 ABCD.当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 ABDE.又ACBC，ABCE.又 DE，CE 为相交直线，AB平面 CDE.由 CD平面 CDE，得 ABCD.综上所述，总有 ABCD.