1、第2课时 等差数列的性质及应用新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义2能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题3体会等差数列与一元一次函数的关系1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质(逻辑推理)2能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题(逻辑推理、数学运算)必备知识自主学习导思1.等差数列的项有哪些性质？2怎样应用等差数列的性质简化运算？1.等差数列通项公式的变形及推广andn(a1d)(nN*)，anam(nm)d(m，nN*)，danamnm(m，nN*，且mn).其中的几何意义是点(
2、n，an)均在直线ydx(a1d)上可以利用任意项及公差直接得到通项公式，不必求a1.即斜率公式ky2y1x2x1，可用来由等差数列任两项求公差2等差数列的性质在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则am_ap_特别地，若mn2p，则aman2ap.anaq若an为等差数列，且mnp(m，n，pN*)，则amanap成立吗？提示：不一定如数列1，2，3，4，满足a1a2a3；而数列1，1，1，1，则不满足a1a2a3.3由等差数列衍生的新数列若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)an
3、ank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若数列an的通项公式anknb，则an是公差为k的等差数列()(2)等差数列an中，必有a10a1a9.()(3)若数列a1，a2，a3，a4，是等差数列，则数列a1，a3，a5，也是等差数列()(4)若数列a1，a3，a5，和a2，a4，a6都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3是等差数列()提示：(1)通项公式是关于n的一次函数形式的数列都是等差数列(2)等差数列中项的和相等都是等式两边项数相等，项数和相等(3)等差数列的奇数项、偶数
4、项分别成等差数列(4)如数列1，1，1，和数列2，2，2，按照规则排好后成为数列1，2，1，2，1，2，显然此数列不是等差数列2等差数列an中，a100120，a90100，则公差d等于()A2 B20 C100 D2【解析】选A.因为a100a9010d，所以10d20即d2.3等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于()A.3 B3 C32D32【解析】选B.由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.4在等差数列an中，已知a3a4a5a6a7450，则a2a8_【解析】因为a3a4a5a6a75a5450，所以a590，所以a2a82a5290180.答案：180关
5、键能力合作学习类型一 等差数列性质的应用(数学运算)1已知等差数列an中，a2a46，则a1a2a3a4a5()A30 B15 C5 6D10 6【解析】选B.因为数列an为等差数列，所以a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a352(a2a4)52 615.2设an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37()A.0 B37 C100 D37【解析】选C.设cnanbn，由于an，bn都是等差数列，则cn也是等差数列，且c1a1b12575100，c2a2b2100，所以cn的公差dc2c10.所以c37100，即a37b37100.3已知等差数列an的公
6、差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为()A.12 B8 C6 D4【解析】选B.由等差数列的性质，得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，所以a88，又d0，所以m8.解决等差数列运算问题的一般方法一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于通用方法；或者兼而有之这些方法都运用了整体代换与方程的思想对等差数列的性质：若mnpq，则amanapaq，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11【补偿训练】1在
7、等差数列an中，已知a22a8a14120，则2a9a10的值为_【解析】因为a2a142a8，所以a22a8a144a8120，所以a830.所以2a9a10(a8a10)a10a830.答案：302在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值【解析】因为(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，所以a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列所以a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.类型二 等差数列的设法与求解(数学运算)【典例】已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于1
8、16，求这三个数四步内容理解题意条件：三个数成单调递增等差数列它们的和等于18，平方和等于116结论：求这三个数思路探求设出三个数，列方程组求解书写表达设这三个数分别为ad，a，ad，且d0.由题意可得222(ad)a(ad)18(ad)aad116 ，（），解得 a6d2，或 a6.d2，因为d0，所以a6，d2.所以这个数列是4，6，8.题后反思三个数成等差数列设元时以中间一个为准，但需注意对公差符号的选取设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：，xd，x，xd，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：，a3d，ad，ad，a3d，此时公差为2d.(3
9、)等差数列的通项可设为anpnq.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为24，求这三个数【解析】设这三个数分别为ad，a，ad.由题意可得adaad6ad a ad24（）（），（）（），解得 a2d4，或 a2.d4，所以所求三个数为2，2，6或6，2，2.类型三 等差数列的实际应用(数学建模)【典例】某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【思路导引】每年的利润构成一个等差数列，公差是20.【解析】设从第一年起，第n
10、年的利润为an万元，则a1200，an1an20(nN*)，所以每年的利润构成一个等差数列an，从而ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损所以由an22020n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损与等差数列有关的实际问题解法解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题1周髀算经中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十
11、二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为()A12.5尺B10.5尺C15.5尺D9.5尺【解析】选C.设此等差数列an的公差为d，则a1a4a73a19d37.5，a111d4.5，解得d1，a115.5.2某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费_元【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一个等差数列
12、an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元).答案：23.2课堂检测素养达标1已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12等于()A15 B30 C31 D64【解析】选A.a7a9a4a12，所以a1216115.2在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a913 a11的值为()A14 B15 C16 D17【解析】选C.由题意，得5a8120，所以a824，所以a913 a11(a8d)13(a83d)23 a816.3等差数列an中，a3a7a101，a11a421.则a7等于_【解析】因为a3a7a10a11a4a3a7a11(a10a4)3a72a7a7，所以a721120.答案：204在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8_【解析】由等差数列的性质可知a2a8a3a7a4a6，所以a2a4a6a82(a3a7)74.答案：745已知an为等差数列，且a64，则a4a7的最大值为_【解析】设等差数列的公差为d，则a4a7(a62d)(a6d)(42d)(4d)2(d1)218，即a4a7的最大值为18.答案：18