1、第一章立体几何初步(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A若m，n，mn，则B若m，nm，则nC若m，则mD若mn，m，则n答案：D2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥PA1B1A的左视图可能为()答案：D3已知l平面，直线m平面.有下面四个命题：lm；lm；lm；lm.正确的有()A BC D解析：l，l，又m，lm，正确；，l，l或l，但l与m有可能相交、异面、平行，
2、错；lm，l，m，又m，正确；l，lm，则m或m，但得不到，错，故选D答案：D4如图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A8 B8C8 D8解析：由三视图可得几何体是由一个正方体挖去半个圆锥，则VV正V圆锥2221228，故选B答案：B5设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为()A6B2C D2解析：正六棱锥的高h2，S底612.VSh2，故选C答案：C6设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四种说法：若m，n，则mn；若，则；若m，n，则mn；若，m，则m.其中正确说法的个数为()A1 B2 C3 D4解析：正确，故
3、选B答案：B7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A6 B7 C12 D26解析：几何体为一个长方体和一个半圆柱，表面积为124112121112，选C答案：C8下列说法中正确的是()A经过两条平行直线，有且只有一个平面B如果两条直线平行于同一个平面，那么这两条直线平行C三点确定唯一一个平面D如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则这两个平面相互平行解析：经过两条平行直线确定一个平面，故A正确答案：A9圆台上、下底面面积分别为、4，侧面积为6，这个圆台的体积是()A B2 C D 解析：r ，r11，同理r22，S侧(12)l6，l2，在轴截面中，求出高h，V(124
4、).故选D答案：D10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2 B1 C D解析：由三视图可知该几何体是底面为正方形，边长为，高为1的四棱锥，V1.故选C答案：C11.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48B328C488D80解析：换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为，所以该几何体的表面积为488，故选C答案：C12一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M，N分别为A1B，B1C1的中点下列结论中正确的个数有()直线MN与A1C相交；MNBC；MN平面ACC1A1；三棱
5、锥NA1BC的体积为Va3.A4个 B3个 C2个 D1个解析：由三视图可知该几何体是直三棱柱，底面ACB是直角三角形，ACBC，AA1底面ABC.取A1B1的中点H，连接HN，HM，可知NHA1C1，MHA1A，NH平面AA1C1C，MH平面AA1C1C，平面AA1C1C平面MNH，MN与A1C不相交，错，正确；BCAC，BCAA1，ACAA1A，BC平面ACC1A1.又平面MNH平面ACC1A1，BC平面MNH，MNBC，正确；VVA1C1SBCNaaaa3，正确，故选B答案：B第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13一个几何体的
6、三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_ m3.解析：由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2 m、高为2 m的圆锥，下面是底面圆的半径为1 m、高为4 m的圆柱，所以该几何体的体积是424(m3)答案：14.如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列三个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P面ACD1；DPBC1.其中正确的命题的序号是_解析：VV，AD1BC1，S不变，C到平面AD1C1的距离为定值，V是定值，正确；连接AC，A1C1，AD1，D1C，可知平面AD1C平面A1C1B，A1P平面A1C1B，A1P平面ACD1，正确；连接B1
7、C，B1CBC1，BC1DC，BC1平面A1B1CD.DP平面A1B1CD，DPBC1，正确答案：15如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的动点，则三棱锥D1EDF的体积为_解析：VV111.答案：16在三棱柱ABCA1B1C1中侧棱垂直于底面，ACB90，BAC30，BC1，且三棱柱ABCA1B1C1的体积为3，则三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积为_解析：在ABC中，ACB90，BAC30，BC1，AB2，AC，VACBCAA13，即1AA13，AA12，外接球的半径为r 2，外接球的表面积为4416.答案：16三、解答题(本大题共6小题，
8、共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)一个几何体的三视图如图(图中三角形为正三角形)所示，求它的表面积和体积解：由三视图知几何体为正三棱柱，高为2 mm，由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为h2 mm.设底面边长为a，则a2，a4，三棱柱的表面积SS侧2S底342242248(mm2)，体积VS底h428(mm3)18(12分)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点(1)求证：平面B1MN平面BB1D1D；(2)当点P在DD1上运动时，是否都有MN平面A1C1P，证明你的结论解：(1)证明：正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABC
9、D，MN平面ABCD，BB1MN.连接AC，M，N分别为AB，BC的中点，MNAC，又四边形ABCD是正方形，ACBD，MNBD.BDBB1B，MN平面BB1D1D.又MN平面B1MN，平面B1MN平面BB1D1D.(2)当点P在DD1上移动时，都有MN平面A1C1P，证明：A1C1AC，MNAC，MNA1C1，又MN平面A1C1P，A1C1平面A1C1P，MN平面A1C1P.19(12分)(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上
10、一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积解：(1)证明：由已知可得，BAC90，ABAC.又BAAD，且ADACA，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.作QEAC，垂足为E，则QEDC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPQESABP132sin451.20(12分) (2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且
11、AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解：(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.从而AC平面DOB，故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之
12、比为11.21(12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E是PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求点A到平面PBC的距离解：(1)证明：连接BD交AC于O，连接EO，E为PD的中点，O为BD的中点，EOPB，EO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC.(2)设A到平面PBC的距离为h，则VPABDVPABCVAPBC，PAABBC，AB，PB，hSPBC，hPBBC，即h，h.22(12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G，
13、H分别是CE和CF的中点(1)求证：AC平面BDEF；(2)求证：平面BDGH平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD.又因为平面BDEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，且AC平面ABCD，所以AC平面BDEF.(2)证明：在CEF中，因为G，H分别是CE和CF的中点，所以GHEF.又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.设ACBDO，连接OH，在ACF中，因为OAOC，CHHF，所以OHAF，又因为OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH平面AEF，因为OHGHH，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(3)由(1)得AC平面BDEF，又因为AO，四边形BDEF的面积S1326，所以四棱锥ABDEF的体积V1AO64，同理，四棱锥CBDEF的体积V24，所以多面体ABCDEF的体积等于8.11
