1、2两角和与差的三角函数21两角差的余弦函数22两角和与差的正弦、余弦函数, )1问题导航(1)根据()，如何由C推出C？(2)对任意角，cos()cos cos 成立吗？(3)如何认识公式C和S中的角？2例题导读 P119例1.通过本例学习，学会利用公式C解决形式上不具有，但可以拆合成的问题 试一试：教材P123习题32 A组T1前4个小题你会吗？ P119例2.通过本例学习，学会利用公式C求解此类给值求值的问题 试一试：教材P123习题32 A组T3你会吗？ P120例3.通过本例学习，学会逆用公式S求函数的最值、周期等 试一试：教材P123习题32 B组T2(1)(2)(3)你会吗？ 1两
2、角差的正弦、余弦公式(1)cos()cos_cos_sin_sin_；(C)(2)sin ()sin_cos_cos_sin_(S)2两角和的正弦、余弦公式(1)sin ()sin_cos_cos_sin_；(S)(2)cos()cos_cos_sin_sin_(C)3辅助角公式asin bcos sin()，其中tan 或asin bcos cos()，其中tan .1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54cos
3、 24sin 36sin 24sin 30.()解析：(1)正确根据公式的推导过程可得(2)正确当45，0时，sin()sin sin .(3)错误当30，30时，sin()sin sin 成立(4)正确因为sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正确答案：(1)(2)(3)(4)2cos 75cos 15sin 75sin 15的值等于()A. BC0 D1解析：选C.逆用两角和的余弦公式可得cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900.3若cos()，则(sin
4、 sin )2(cos cos )2_解析：原式22cos()22.答案：4sin 15cos 15_解析：sin 15cos 15cos 75cos 15cos(4530)cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30cos 45cos 30sin 45sin 302cos 45cos 30.答案：1公式C，S的适用条件公式中的、是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式2公式C与S的联系四个公式C、S虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos()cos()sin()sin()，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos()的由来及表达方式，也就掌
5、握了其他三个公式3注意公式的结构特征和符号规律对于公式C，C，可记为“同名相乘，符号反”对于公式S，S，可记为“异名相乘，符号同”给角求值求下列各式的值：(1)cos 105sin 195；(2)sin 14cos 16sin 76cos 74；(3)sincos.(链接教材P119例1)解(1)cos 105sin 195cos(9015)sin(18015)sin 15sin 152sin 152sin(4530)2(sin 45cos 30cos 45sin 30)2.(2)sin 14cos 16sin 76cos 74sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin
6、 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30.(3)法一：sincos222cos2cos2.法二：sincos222sin2sin2.方法归纳解答此类问题的一般思路是(1)非特殊角型：把非特殊角转化为特殊角的和或差(如154530或156045)，直接应用公式求值(2)逆用结构型：把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体，借助诱导公式等工具，构造两角和与差的正余弦公式的展开式，然后逆用公式求值1(1)()A BC. D(2)求下列各式的值：sin 15cos 15；sin 119sin 181sin 91sin 29.解：(1)选C.原式.(2)法一：sin 15
7、cos 15(sin 15cos 45cos 15sin 45)sin (1545)sin 60.法二：sin 15cos 15(cos 45cos 15sin 45sin 15)cos(4515)cos 30.原式sin (2990)sin (1180)sin (190)sin 29cos 29(sin 1)cos 1sin 29(sin 29cos 1cos 29sin 1)sin (291)sin 30.给值求值设cos，sin ，其中，求cos.(链接教材P119例2)解因为，所以，.所以sin .cos .所以coscos coscossin sin .方法归纳给值求值的解题步骤(1
8、)找角的差异已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异(2)拆角与凑角根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换常见角的变换有()，()，(2)()，()()，()()等(3)求解，结合公式C和S求解即可2(1)已知cos，则cos _(2)已知，且cos()，sin ，求sin .解：(1)由于0，cos，所以sin.所以cos coscoscossinsin.故填.(2)因为，所以(0，)因为cos()，所以sin().因为，sin ，所以cos .所以sin sin()sin()cos cos()sin .给值求角已知cos ，sin()，0，0，求
9、角的值解因为0，cos ，所以sin ，又因为0，所以0，因为sin()sin ，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin ，又因为0，所以.把本例中的“0”改为“”，求角的值解：因为0，cos ，所以sin ，又因为，所以，因为sin()，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin ，又因为，所以.方法归纳此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：求所求角的某个三角函数值；确定所求角的范围此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，或范围过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值3(1)设，为钝
10、角，且sin ，cos ，则的值为()A. BC. D或(2)已知cos()，cos()，且，求角的值解：(1)选C. 因为，为钝角，所以由sin ，得cos .由cos ，得sin .所以cos()cos cos sin sin .又因为0时，y最大值2a2ab1，y最小值2a12ab5.由解得a6，b5.当a0时，yb与值域为5，1矛盾，所以a0.当a0时，y最大值2a12ab1，y最小值2a2ab5.由解得a6，b1.综上所述，a6，b5或a6，b1.方法归纳辅助角公式及其运用公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()将形如asin bcos (a，b不同时为零
11、)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式，这样做有利于三角函数式的化简，更是研究三角函数性质的常用工具化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质4(1)函数f(x)sin xcos的值域为()A2，2 B，C1，1 D(2)已知函数f(x)12sin 2xmcos 2x的图像经过点A(0，1)，求此函数在上的最值解：(1)选B.因为f(x)sin xcos xsin xsin，所以函数f(x)的值域为，(2)因为A(0，1)在函数的图像上，所以112sin 0mcos 0，解得m2.所以f(x)12sin 2x2cos 2x2(sin 2xc
12、os 2x)12sin1.因为0x，所以2x.所以sin1.所以3f(x)21.所以函数f(x)的最大值为21，最小值为3.思想方法整体思想的应用已知sin cos ，则cos sin 的取值范围是()A.B.C. D解析设cos sin t，由sin cos cos sin t，得sin()t；由sin cos cos sin t，得sin()t.由得所以t.答案D感悟提高整体思想在处理三角问题时，主要是指将角度、三角式子看成一个整体，在解题时不把它们拆开，也不一定解出，这将减少一些不必要的运算，从而使运算过程简单、快速地得到正确的解1若ABC中，C90，AC3，BC4，则sin(AB) 的
13、值是()A. BC1 D1解析：选A.在RtABC中，AC3，BC4，所以AB5，所以sin Acos B，cos Asin B，所以sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.2已知，均为锐角，且cos()sin()，则角的值为()A. BC. D无法确定解析：选A.由题意得cos cos sin sin sin cos cos sin ，即cos (cos sin )sin (sin cos )，因为，均为锐角，所以sin cos 0，所以cos sin ，所以.3sin2sincos_解析：原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos
14、 cos xsin sin xsin xcos xsin xcos x0.答案：04若sin()，则cos sin _解析：cos sin 2222sin2.答案：, 学生用书单独成册)A.基础达标1下面各式，不正确的是()AsinsincoscosBcoscoscossinCcoscoscosDcoscoscos解析：选D.coscoscoscos，故D不正确2化简cos(xy)sin ysin(xy)cos y等于()Asin(x2y) Bsin(x2y)Csin x Dsin x解析：选D.cos(xy)sin ysin(xy)cos ysiny(xy)sin x.3.cos sin 可
15、化为()Asin BsinCsin Dsin解析：选C.cos sin sincos cossin sin.4如果，那么等于()A. BC. D解析：选A.，所以nsin cos ncos sin msin cos mcos sin ，所以(mn)sin cos (mn)cos sin ，所以，即.5在ABC中，如果sin A2sin Ccos B，那么这个三角形是()A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D不确定解析：选C.在ABC中，sin Asin(BC)sin(BC)因为sin A2sin Ccos B，所以sin(BC)2sin Ccos B，即sin Bcos Ccos Bsin
16、 C2sin Ccos B，所以sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.又180BC180，所以BC0，即BC，所以ABC是等腰三角形6已知3sin xcos x2sin(x)，(，)则的值是_解析：因为3sin xcos x22sin，又因为3sin xcos x2sin(x)且(，)，所以.答案：7函数f(x)sin(x)2sin cos x的最大值为_解析：因为f(x)sin(x)2sin cos xcos sin xsin cos xsin(x)，又1sin(x)1，所以f(x)的最大值为1.答案：18若cos cos ，sin sin ，则cos()_解析：由
17、已知得cos cos ，sin sin .22得(cos cos )2(sin sin )2，即22cos cos 2sin sin ，所以cos cos sin sin ，所以cos().答案：9已知、为锐角，且cos ，cos()，求cos 的值解：因为0，0，所以0.由cos()，得sin ().又因为cos ，所以sin .所以cos cos ()cos()cos sin ()sin .10已知函数f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)设，f，f(32)，求cos()的值解：(1)f2sin2sin 2.(2)f2sin 2sin ，所以sin .f(32)2sin 2sin
18、2cos ，所以cos .因为，所以cos ，sin ，所以cos()cos cos sin sin .B.能力提升1设，且tan ，则()A3 B2C3 D2解析：选B.由tan 得，即sin cos cos cos sin ，所以sin()cos sin.因为，所以，所以由sin()sin，得，所以2.2若sin，sin，其中，则角的值为()A. BC. D解析：选B.因为，所以0，因为，所以，由已知可得cos，cos.则cos()coscoscossinsin.因为，所以.3形如的式子叫做行列式，其运算法则为adbc，若行列式，则x_解析：因为adbc，sin xcoscos xsins
19、in，所以x2k或x2k，kZ，所以x2k或x(2k1)，kZ.答案：2k或(2k1)，kZ4设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _解析：f(x)sin x2cos x，设cos ，sin ，则f(x)(sin xcos cos xsin )sin(x)因为xR，所以xR，所以f(x)max.又因为x时，f(x)取得最大值，所以f()sin 2cos .又sin2cos21，所以即cos .答案：5已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.解：(1)fAsinAsinA，所以A3.(2)f()f()3sin3sin36sin cos 3sin ，所以sin .又因为，所以cos ，所以f3sin3sin 3cos .6(选做题)已知向量a，b(4，4cos x)(1)若ab，求sin的值；(2)设f(x)ab，若，f2，求cos 的值解：(1)因为abab0，则ab4sin4cos x2sin x6cos x4sin0，所以sin，所以sinsin.(2)由(1)知f(x)4sin，所以由f2得sin，又，所以，又因为，所以，所以cos，所以cos coscoscossinsin.15
