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2020-2021学年人教A版高中数学必修2课件:2-3-2 平面与平面垂直的判定 .ppt

1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2 平面与平面垂直的判定 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系(重点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化(重点)1.通过学习平面与平面垂直的判定,提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养2.通过学习二面角,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养自 主 预 习 探 新 知 1二面角的概念(1)定义:从一条直线出发的 所组成的图形(2)相关概念:这条直线叫做二

2、面角的,两个半平面叫做二面角的(3)记法:二面角 或 或 或 P-AB-Q.两个半平面棱面-l-AB-P-l-Q(4)二面角的平面角:若有O l;OA,OB;OA l,OB l,则二面角-l-的平面角是 .(5)二面角 的取值范围为 当两个二面角的两个半平面重合时,规定二面角的大小为 0,当两个二面角的两个半平面合成一个平面时,规定二面角的大小为 180.AOB0 180思考:二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?提示 无关如图,根据等角定理可知,AOBAOB,即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关2平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果

3、它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直(2)画法:(3)记作:直二面角(4)判定定理:文字语言一个平面过另一个平面的 ,则这两个平面垂直 图形语言 符号语言l,垂线l思考:两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗?提示 不一定,只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面B 根据二面角的记法规则可知 B 正确1如图所示的二面角可记为()Al BMlNClMNDlC 经过 l 的任一平面都和 垂直2已知直线 l平面,则经过 l 且和 垂直的平面()A有一个B有两个C有无数个D不存在90 PA平面 ABC,PAAB,PAAC,BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角

4、,又BAC90.所以所求二面角的大小为 90.3如图所示,三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,BAC90,则二面角 B-PA-C 的大小等于_合 作 探 究 释 疑 难 二面角的计算问题【例 1】如图,已知三棱锥 A-BCD 的各棱长均为 2,求二面角A-CD-B 的余弦值解 如图,取 CD 的中点 M,连接 AM,BM,则 AMCD,BMCD.由二面角的定义可知AMB 为二面角 A-CD-B 的平面角设点 H 是BCD 的重心,则 AH平面 BCD,且点 H 在 BM 上在 RtAMH 中,AM 32 2 3,HM 32 213 33,则 cos AMB33313,即二面角的余弦值为1

5、3.1求二面角的大小关键是作出平面角:求二面角大小的步骤是:(1)找出这个平面角;(2)证明这个角是二面角的平面角;(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小2确定二面角的平面角的方法:定义法在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线 垂面法过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角跟进训练1如图,AC平面 BCD,BDCD,AC12AD,求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小证明 因为 AC平面 BCD,BD平面 BCD,所以 BDAC.又因为 BDCD,ACCDC,所以 BD平面

6、ACD.因为 AD平面 ACD,所以 ADBD,所以ADC 即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角在 RtACD 中,AC12AD,所以ADC30.平面与平面垂直的判定【例 2】如图所示,在四面体 ABCS 中,已知BSC90,BSACSA60,又 SASBSC.求证:平面 ABC平面 SBC.证明(1)法一:(利用定义证明)因为BSACSA60,SASBSC,所以ASB 和ASC 是等边三角形,则有 SASBSCABAC,令其值为 a,则ABC 和SBC 为共底边 BC 的等腰三角形取 BC 的中点 D,如图所示,连接 AD,SD,则 ADBC,SDBC,所以ADS 为二面角

7、A-BC-S 的平面角在 RtBSC 中,因为 SBSCa,所以 SD 22 a,BDBC2 22 a.在 RtABD 中,AD 22 a,在ADS 中,因为 SD2AD2SA2,所以ADS90,即二面角 A-BC-S 为直二面角,故平面 ABC平面 SBC.法二:(利用判定定理)因为 SASBSC,且BSACSA60,所以 SAABAC,所以点 A 在平面 SBC 上的射影为SBC 的外心因为SBC 为直角三角形,所以点 A 在SBC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点,所以 AD平面 SBC.又因为 AD平面 ABC,所以平面 ABC平面 SBC.证明面面垂直常用的方法:定义法即说明两个半

8、平面所成的二面角是直二面角 判定定理法在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直 性质法两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面跟进训练2如图所示,四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形,PC平面 ABCD,E 是 PA 的中点,求证:平面 BDE平面 ABCD.证明 连接 AC,设 ACBDO,连接 OE.因为 O 为 AC 中点,E 为 PA 的中点,所以 EO 是PAC 的中位线,所以 EOPC.因为 PC平面 ABCD,所以 EO平面 ABCD.又因为 EO平面 BDE,所以平面 BDE平面 ABCD.线线、线面垂直的综合探究问题1如图所示

9、,如何作出二面角 PABQ 的平面角?提示 过点 P 作平面 ABQ 的垂线,垂足为 H.过 H 作 HO棱AB 于点 O,连接 OP,则POH 即为二面角 P-AB-Q 的平面角2线面、面面垂直关系是如何转化的?提示 欲证面面垂直,可转化为证明线面垂直,再转化为证明线线垂直即可【例 3】如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 上的动点(1)求证:A1EBD;(2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时,求证:平面 A1BD平面 EBD.思路探究:(1)欲证 A1EBD,只需证明 BD 垂直 A1E 所在平面即可;(2)要证平面 A1BD平面 EBD,只需求出二面角为

10、直二面角即可,或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面证明 连接 AC,设 ACDBO,连接 A1O,OE,(1)因为 AA1底面 ABCD,所以 BDA1A,又 BDAC,A1AACA,所以 BD平面 ACEA1,因为 A1E平面 ACEA1,所以 A1EBD.(2)在等边三角形 A1BD 中,BDA1O,因为 BD平面 ACEA1,OE平面 ACEA1,所以 BDOE,所以A1OE 为二面角 A1BDE 的平面角在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,设棱长为 2a,因为 E 为棱 CC1 的中点,由平面几何知识,得 EO 3a,A1O 6a,A1E3a,满足A1E2A1O2EO2,所以

11、A1OE90,即平面 A1BD平面 EBD.本例中,条件不变,试求二面角 E-BD-C 的正切值解 连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE(图略).由例题中(2)知,BDOE,BDOC.EOC 为二面角 E-BD-C 的平面角设正方体棱长为 a,则 CEa2,OC 22 a.在 RtOCE 中,tan EOCCEOCa222 a 22.所以二面角 E-BD-C 的正切值为 22.线面、面面垂直的综合问题的解题策略:(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直转化为证线面垂直;证线面垂直转化为证线线垂直.(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题

12、时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用课 堂 小 结 提 素 养 1求二面角大小的步骤简称为“一作、二证、三求”2平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质:通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,即线面垂直面面垂直(2)证题思路:处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题来解决C 由面面垂直的判定定理,得 与 垂直,故选 C.1直线 l平面,l平面,则 与 的位置关系是()A平行 B可能重合C相交且垂直D相交不垂直D 画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所

13、夹的角与二面角的平面角互为补角,所以选 D.2从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A互为余角B相等C其和为周角D互为补角45 根据长方体中的位置关系可知,ABBC,A1BBC,根据二面角的平面角定义可知,ABA1 即为二面角 A-BC-A1 的平面角.又 ABAA1,且 ABAA1,所以ABA1 45.3在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BC-A1 的平面角等于_4如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1CA1B.证明:平面 AB1C平面 A1BC1.证明 因为 BCC1B1 是菱形,所以 B1CBC1,又 B1CA1B,且 BC1A1BB,所以 B1C平面 A1BC1,又 B1C平面 AB1C,所以平面 AB1C平面 A1BC1.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!

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