1、第2课时 数列的通项公式与递推公式新课程标准学业水平要求1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2了解数列是一种特殊函数1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列(逻辑推理)2理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(数学运算)3会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式(逻辑推理、数学运算)必备知识自主学习1.递推公式(1)概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式(2)作用：递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项 导思1.什么是数列的递推公式？2什么是数列的前
2、n项和？(1)数列 1，2，4，8，的第 n 项 an 与第 n1 项 an1 有什么关系？(2)所有的数列都有递推公式吗？提示：(1)an12an；(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式，如 2 精确到 1，0.1，0.01，0.001，的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，就没有递推公式2数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列 2，4，6，8，10，12，为例，表示如下：通项公式法：an2n.递推公式法：1n1na2aa2nN*.，列表法：n123kan2462k图象法：3数列递推公式与通项公式的关系递
3、推公式通项公式区别表示 an 与它的前一项 an1(或前几项)之间的关系表示 an 与 n 之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式仅由数列an的关系式 anan12(n2，nN*)就能确定这个数列吗？提示：不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的4数列的前 n 项和的概念数列an从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，称为数列an的前 n 项和，记作 Sn，即Sna1a2an.如何用 Sn 和 Sn1 的表达式表示 an?提示：an1nnn1S,n1,aSS,n2.1辨析记忆
4、(对的打“”，错的打“”).(1)递推公式是表示数列的一种方法()(2)根据递推公式可以求出数列已知项以外的任意一项()(3)数列的前 n 项和就是指从数列的第 1 项 a1 起，一直到第 n 项 an 所有项的和()提示：(1)递推公式也是给出数列的一种重要方法(2)只需将已知的项代入递推公式即可逐个求得数列的其他项(3)由前 n 项和的定义可知正确 2符合递推关系式 an 2 an1(n2)的数列是()A1，2，3，4，B1，2，2，2 2，C.2，2，2，2，D0，2，2，2 2，【解析】选 B.B 中从第二项起，后一项是前一项的 2 倍，符合递推公式 an2 an1.3数列an中，an
5、1an2an，a12，a25，则 a5()A.3 B11 C5 D19【解析】选 D.由 an1an2an，得 an2anan1，则 a3a1a27，a4a2a312，a5a3a419.4已知 a11，an1 1an1(n2)，则 a5_【解析】由 a11，an1 1an1，得 a22，a332，a453，a585.答案：855已知数列 an的前 n 项和 Snn2n，则 a4 的值为_【解析】由已知 a4S4S3(424)(323)8.答案：8关键能力合作学习类型一 由递推公式求数列的项(数学运算)1若 a11，an1an3an1，则给出的数列an的第 4 项是()A.116 B 117 C
6、 110 D 125【解析】选 C.a2a13a11 131 14，a3a23a21 1434117，a4a33a31 17371 110.2数列an中，a11，对所有的 n2，都有 a1a2a3ann2，则 a3a5 等于()A.259 B2516 C6116 D3115【解析】选 C.由题意 a1a2a332，a1a222，a1a2a3a4a552，a1a2a3a442，则 a33222 94，a55242 2516.故 a3a56116.3已知数列an满足nnn1nn12a 0a2a12a1a12，若 a167，则 a2 021_【解析】计算得 a22a1157，a32a2137，a42
7、a367.故数列an是以 3 为周期的周期数列，又因为 2 02167332，所以 a2 021a257.答案：57由递推公式求数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式【补偿训练】数列an中，a11，a23，a2n1 anan2(1)n，求an的前 5 项【解析】由 a2n1 anan2(1)n，得 an2a2n1（1）nan，又因为 a11，a23，所以 a3a22（1）1a1321110，a4a23（1）2a2
8、1021333，a5a24（1）3a3332110109.所以数列an的前 5 项为 1，3，10，33，109.类型二 由递推公式求通项公式(逻辑推理)角度 1 累差法【典例】已知数列an满足 a11，an1an1n（n1），nN*，求通项公式 an.【思路导引】先将 an1an1n（n1）变形为 an1an1n 1n1，照此递推关系写出前 n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解【解析】因为 an1an1n（n1），所以 a2a1 112；a3a2 123；a4a3 134；anan11（n1）n.以上各式累加得，ana1 112 123 1（n1）n112 12 13
9、1n1 1n 11n.所以 an111n，所以 an1n(n2).又因为 n1 时，a11，符合上式，所以 an1n(nN*).将条件变为“a112，anan1an1an(n2)”求数列an的通项公式【解析】因为 anan1an1an，所以1an 1an11.所以1an 1a1 1a21a11a31a21an 1an12n 111 11 个n1.所以1an n1(n2)，又 a112 也适合上式，所以 an 1n1.角度 2 累乘法【典例】设数列an中，a11，an11nan1(n2)，求通项公式 an.【思路导引】先将 an11nan1(n2)变形为 anan1n1n，按此递推关系，写出所有
10、前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解【解析】因为 a11，an11nan1(n2)，所以 anan1n1n，an anan1an1an2an2an3a3a2 a2a1 a1n1nn2n1 n3n223 12 11n.又因为 n1 时，a11，符合上式，所以 an1n(nN*).由递推公式求通项公式的方法1累差法：形如 an1anf(n)的递推公式，可以利用 a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN*)求通项公式；2累乘法：形如an1anf(n)的递推公式，可以利用 a1a2a1 a3a2 anan1an(n2，nN*)求通项公式1已知 a11，anan13(n2，nN*)
11、，则数列的通项公式为()Aan3n1 Ban3nCan3n2 Dan3(n1)【解析】选 C.因为 anan13，所以 anan13.所以 a2a13，a3a23，a4a33，anan13，以上各式两边分别相加，得 ana13(n1)，所以 ana13(n1)13(n1)3n2.当 n1 时，也适合上式2若数列an满足(n1)an(n1)an1，且 a11，则 a100_【解析】由(n1)an(n1)an1，即 anan1n1n1，则 a100a1a2a1 a3a2 a100a99131 42 10199 5 050.答案：5 050类型三 由 an 与 Sn 的关系求通项公式(逻辑推理)【典
12、例】已知数列 an满足 a12a23a3nann2nN*.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn(1)nanan1，求数列 bn的前 2 020 项和 S2 020.四步内容理解题意条件：a12a23a3nann2nN*结论：数列 an的通项公式思路探求(1)将 n 换为 n1 得另一个式子，两式相减即可求出；(2)直接求和书写表达(1)由 a12a23a3nann2nN*，可得 a12a23a3(n1)an1(n1)2，所以 nann2(n1)22n1，即 an21n n2，nN*，当 n1 时，a11 也满足，所以 an21n nN*.(2)S2 020b1b2b2 02021121
13、2212213212 019212 020212 020212 021112 021 2 0202 021.题后反思解决 an 和 Sn 关系问题，常常利用 an1nn1S,n1SS,n2解决由 an 与 Sn 的关系求通项公式的方法1对于一般数列an，设其前 n 项和为 Sn，则有an1nn1Sn1SSn2.，这一关系对任何数列都适用2若在由 anSnSn1(n2)求得的通项公式中，令 n1 求得 a1 与利用 a1S1 求得的 a1 相同，则说明 anSnSn1(n2)所得通项公式也适合 n1 的情况，数列的通项公式用 anSnSn1 表示；若在由 anSnSn1(n2)求得的通项公式中，
14、令 n1 求得的 a1 与利用 a1S1 求得的a1 不相同，则说明 anSnSn1(n2)所得通项公式不适合 n1 的情况，数列的通项公式采用分段形式(1)已知数列 an的前 n 项和 Snn2，则 an 等于()An Bn2C2n1 D2n1(2)已知数列 an的前 n 项和 Snn23n1，则 an_【解析】(1)选 D.当 n1 时，a1S1121，当 n2 时，由 anSnSn1 得 ann2n122n1，验证当 n1 时，a12111 满足上式故数列 an的通项公式为 an2n1.(2)当 n1 时，a1S11313，当 n2 时，anSnSn1n23n1(n1)23(n1)12n
15、4，当 n1 时，242a1，所以 an3n1,2n4n2.，答案：3n1,2n4n2，备选类型 数列的周期性(直观想象、逻辑推理)【典例】已知数列an中，a11，a22，an2an1an，nN*，试写出 a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第 2 020 项？【思路导引】由递推公式求数列中的指定项时，如果项数比较大，则该数列通常具有周期性，即数列的项会有周期性的变化【解析】a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，.发现：an6an，数列an具有周期性，周期 T6.证明如下：因为 an2an1an，所以 an3an2an
16、1(an1an)an1an.所以 an6an3(an)an.所以数列an是周期数列，且 T6.所以 a2 020a33664a41.递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关系对于通项公式，已知 n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项若项数很大，则应考虑数列是否具有规律已知数列xn满足 x1a，x2b，xn1xnxn1(n2)，设 Snx1x2xn，则下列结论正确的是()Ax100a，S1002ba Bx100b，S1002baC.x100b，S100ba Dx100a，S100ba【解析】选 A.x1a，x2b，x3x2x1ba，x4x3x2a
17、，x5x4x3b，x6x5x4ab，x7x6x5ax1，x8x7x6bx2，所以xn是周期数列，周期为 6，所以 x100 x4a，因为 x1x2x60，所以S100 x1x2x3x42ba.课堂检测素养达标1已知数列an的首项为 a11，且满足 an112 an 12n，则此数列的第 4 项是()A1 B12 C34 D58【解析】选 B.由 a11，所以 a212 a112 1，依此类推 a412.2已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn1n，nN*，则 a2()A12 B16 C16 D12【解析】选 A.因为 Sn1n，所以 a1S111 1，因为 S2a1a212，所以 a212 112.3若数列an满足 an14an34(nN*)，且 a11，则 a17()A13 B14 C15 D16【解析】选 A.由 an14an34an1an34，a17a1(a2a1)(a3a2)(a17a16)134 1613.4已知数列an中，a12，an 1an1(n2，nN*)，则 a2 020_【解析】因为 a21a1 12，a31a2 2，a412 a2，所以an的周期为 2，所以 a2 020a212.答案：12