1、基础诊断考点突破课堂总结第6讲 双曲线基础诊断考点突破课堂总结考试要求 双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，A级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1双曲线的概念(1)第一定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(F1F22c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a0，c0：当时，P点的轨迹是双曲线；当ac时，P点的轨迹是；当时，P点不存在(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离的比是常数e(e1)的动点C的轨迹叫做双曲线ac 基础诊断考点突破课堂总结2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，
2、b0)y2a2x2b21(a0，b0)图 形基础诊断考点突破课堂总结范围xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya对称性对称轴：；对称中心：顶点.A1(0，a)，A2(0，a)渐近线ybax离心率e ，e(1，)性质实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 A1A22a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 B1B22b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a，b，c 的关系c2(ca0，cb0)坐标轴原点yabxcaa2b2A1(a,0)，A2(a,0)续表基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(
3、0，4)距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是双曲线()(2)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(3)双曲线方程x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()基础诊断考点突破课堂总结2.(2014新课标全国卷改编)已知双曲线x2a2y23 1(a0)的离心率为 2，则 a_.解析 由双曲线方程知 b23，从而 c2a23，又 e2，因此c2a2a23a2 4，又 a0，所以 a1.答案 1 基础诊断考点突破课堂总结 3设 a1，则双曲线x2a2y2a121 的离心率 e 的取值
4、范围是_解析 ecab2a2a21a1a2111a2，a1，01a1，111a2，2e 5.答案(2，5)基础诊断考点突破课堂总结4(2014广东卷改编)若实数 k 满足 0k5，曲线x216 y25k1与曲线x216ky25 1，给出下列结论：实半轴长相等；虚半轴长相等；离心率相等；焦距相等则上述结论错误的序号为_基础诊断考点突破课堂总结 解析 若 0k5，则 5k0,16k0，故方程x216 y25k1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，且实半轴的长为 4，虚半轴的长为 5k，焦距 2c2 21k，离心率 e 21k4；同理方程x216ky25 1 也表示焦点在 x 轴上的双曲线，实半轴的长为
5、 16k，虚半轴的长为 5，焦距 2c2 21k，离心率 e 21k16k.可知两曲线的焦距相等答案 基础诊断考点突破课堂总结5(苏教版选修21P48T7改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_解析 设双曲线的方程为：x2a2y2a21(a0)把点 A(3，1)代入，得 a28，故所求方程为x28 y281.答案 x28y281基础诊断考点突破课堂总结考点一 双曲线的定义及应用 【例1】(1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_(2)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双
6、曲线上一点，若PF1PF2，则PF1PF2的值为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得MC1AC1MA，MC2BC2MB，因为MAMB，所以MC1AC1MC2BC2，即MC2MC1BC2AC12，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于C1C2.基础诊断考点突破课堂总结根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与C2 的距离大，与 C1 的距离小)，其中 a1，c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为 x2y28 1(x1)基础诊断考点突破课堂总结(2)设 P 在双曲线的右支上，PF2x(x0)，
7、PF12x，因为 PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以 x 31，x2 31，所以 PF2PF12 3.答案(1)x2y281(x1)(2)2 3规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与PF1PF2的联系基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)(2014南通模拟)设 P 是双曲线x216y2201 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点，若 PF19，则 PF2_.(2)已知 F 是双曲线x24
8、y2121 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则 PFPA 的最小值为_解析(1)由双曲线定义|PF1PF2|8，又PF19，PF21或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，PF217.基础诊断考点突破课堂总结(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得PFPE4，则PFPA4PEPA.由图可得，当A，P，E三点共线时，(PEPA)minAE5，从而PFPA的最小值为9.答案(1)17(2)9基础诊断考点突破课堂总结考点二 双曲线的标准方程 【例 2】(1)(2014天津卷改编)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的
9、一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为_(2)设双曲线与椭圆x227y2361 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是_深度思考 本例第(2)小题可采用三种解法，为了更好地掌握双曲线的定义及标准方程，建议同学们这三种方法都要试一试基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题意知，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为 y2x，所以ba2，即 b24a2.又双曲线的一个焦点是直线 l与 x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(5,0)，所以 c5，即 a2b225，联立得b24a2，a2b225，解得 a
10、25，b220，故双曲线的方程为x25y2201.基础诊断考点突破课堂总结(2)设双曲线的方程为 x227y2361(2736)，由于双曲线过点(15，4)，故 1527 16361，解得 132，20.经检验 132，20 都是分式方程的根，但 0 不符合题意，应舍去，所以 32.故所求双曲线的方程为y24 x251.答案(1)x25 y2201(2)y24 x251基础诊断考点突破课堂总结规律方法 待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设
11、有公共渐近线的双曲线方程为x2a2y2b2(0)，再由条件求出 的值即可基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；(3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7)基础诊断考点突破课堂总结解(1)设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知，2b12，eca54，c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为x264y2361 或y264x2361.基础诊断考点突破课堂总结(2)双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点
12、，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为 y2144x2251.(3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)9m28n1，72m49n1，解得m 175，n 125.双曲线的标准方程为y225x2751.基础诊断考点突破课堂总结考点三 双曲线的几何性质 【例 3】(1)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则 C 的渐近线方程为_(2)(2014浙江卷)设直线 x3ym0(m0)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B.若点 P(m,0)满足 PAPB，则该双曲线的离心率是_基础诊断
13、考点突破课堂总结解析(1)由 eca 52 知，a2k，c 5k(kR)，由 b2c2a2k2 知 bk.所以ba12.即渐近线方程为 y12x.基础诊断考点突破课堂总结(2)由x3ym0，ybax，得点 A 的坐标为am3ba，bm3ba，由x3ym0，ybax，得点 B 的坐标为am3ba，bm3ba，则 AB 的中点 C 的坐标为a2m9b2a2，3b2m9b2a2，基础诊断考点突破课堂总结kAB13，kCP3b2m9b2a2a2m9b2a2m3，化简得ba214，所以双曲线的离心率 e1ba2114 52.答案(1)y12x(2)52基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)双曲线的几何性
14、质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 kba满足关系式 e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等式，利用 b2c2a2 和 eca转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2014南京调研)已知双曲线x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)，若双曲线存在一点 P 使sinPF1F2sinPF2F1ac，则该双曲线的离心率的取值范围是_解析 在PF1
15、F2 中，由正弦定理知PF2sinPF1F2PF1sinPF2F1，又sinPF1F2sinPF2F1ac，PF2PF1ac，所以 P 在双曲线右支上，基础诊断考点突破课堂总结设 P(x0，y0)，如图，又PF1PF22a，PF2 2a2ca.由双曲线几何性质知 PF2ca，则 2a2caca，即 e22e10，1e1 2.答案(1,1 2)基础诊断考点突破课堂总结考点四 直线与双曲线的位置关系 【例 4】已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，实轴长为 2 3.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C 左支交于 A，B 两点，求k 的取值范围解(1)设双
16、曲线 C 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得：a 3，c2，再由 a2b2c2，得 b21，双曲线 C 的方程为x23 y21.基础诊断考点突破课堂总结(2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，将 ykx 2代入x23y21，得(13k2)x26 2kx90.由题意知 13k20，361k20，xAxB 6 2k13k20，解得 33 k1.当 33 k0，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2y2b2t(t0)基础诊断考点突破课堂总结3已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2a2y2b20 就是
17、双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线方程基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支2双曲线中c2a2b2，说明双曲线中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆3求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错基础诊断考点突破课堂总结4双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是 ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是 yabx.5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点