1、1.1.2 空间向量的数量积运算 教材要点要点一空间向量的夹角1夹角的定义已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作_a，b2夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别地，当0时，两向量同向共线；当_时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b2时，两向量_，记作_垂直ab方法技巧对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点：(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为 0；反向时，夹角为.故 a，b0 或 a b(a，b为非零向量)(2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定
2、的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定 0与任何向量 a都是共线的，即 0 a.方法技巧(3)对空间任意两个向量 a，b，有：a，b b，a a，b b，a；a，b a，b a，b；AB，AC BA，CA AB，CA 要点二 空间向量的数量积1定义：已知两个非零向量a，b，则_叫做a，b的数量积，记作ab.即ab_.|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b方法技巧对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解(1)向量 a，b的数量积记为 a b，而不能表示为 a b或 a b.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角的余弦值的符号决定当为锐角时，a b0，但当 a
3、 b0 时，不一定是锐角，因为也可能为 0；当为钝角时，a b0，但当a b0 时，不一定是钝角，因为也可能为.2数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(a)b_a_交换律ab_分配律a(bc)_(ab)(b)baabac3.空间两向量的数量积的性质：垂直 若a，b是非零向量，则abab0 同向：则ab|a|b|共线 反向：则ab|a|b|模aa_|a|2|a|aa|ab|a|b|向量数量积的性质夹角 为a，b的夹角，则cos _|a|a|cosa，aab|a|b|方法技巧(1)对于任意一个非零向量 a，我们把a|a|叫做向量 a的单位向量，记作 a0，a0 与 a同方向(2)当 a 0时，
4、由 a b0 不能推出 b一定是零向量，这是因为对于任意一个与 a垂直的非零向量 b，都有 a b0.答疑解惑1思考类比平面向量，我们可得 ab 的几何意义：数量积 ab 等于 a的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosa，b的乘积，或 b 的长度|b|与 a 在 b 的方向上的投影|a|cosa，b的乘积2教材 P7 思考(1)对于三个不为 0 的实数 a，b，c，若 abac，则 bc.对于三个非零向量 a，b，c，若 abac，不能得出 bc，即向量不能约分如图，在三棱锥 SABC 中，SC平面 ABC，则 SCAC，SCBC.设CSa，CAb，CBc，则 abac0，但
5、bc.(即向量的数量积运算不满足消去律)(2)向量没有除法，对于向量a，b，若abk，不能得到akb(或bka)，例如，当非零向量a，b垂直时，ab0，但a0b显然是没有意义的(3)由定义得(ab)c(|a|b|cosa，b)c，即(ab)c1c；a(bc)a(|b|c|cosb，c)，即a(bc)2a，因此，(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)ca(bc)不一定成立(即向量的数量积不满足结合律)基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)对于任意向量a，b，c，都有(ab)ca(bc)()(2)若abbc，且b0，则
6、ac.()(3)若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的充要条件()(4)在ABC中，AB，CBB.()2(多选)设a，b为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是()Aa2|a|2 B.aba2 baC(ab)2a2b2D(ab)2a22abb2解析：A、D正确，B、C不正确答案：AD3已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_.解析：cosa，b ab|a|b|33212a，b23.答案：234设ab，a，c3，b，c6，且|a|1，|b|2，|c|3，则向量|abc|_.解析：|abc|2|a|2|b|2|c|22(abacbc)14920131223 32 176 3.|a
7、bc|176 3.答案：176 3题型一空间向量的数量积运算1已知 a3p2q，bpq，p 和 q 是相互垂直的单位向量，则 ab()A1B2C3D4解析：由题意知，pq0，p2q21，所以ab(3p2q)(pq)3p22q2pq1.答案：A2如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：EFBA；EFBD；EFDC；ABCD.解析：EFBA12BD BA12|BD|BA|cosBD，BA12cos 6014.EFBD 12BD BD 12|BD|212.EFDC 12BD DC 12DB DC 12cos 6014.ABCD AB(AD AC)ABAD ABA
8、C|AB|AD|cosAB，AD|AB|AC|cosAB，ACcos 60cos 600.方法技巧空间向量数量积的计算问题的解题思路1在几何体中求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；(3)代入 ab|a|b|cosa，b求解2长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等题型二求夹角和模例 1(1)如图，已知空间四边形 OABC 的各边及对角线 AC，OB 的长都相等E，F 分别为 AB，OC 的中点，求异面直线 OE 与BF 所成角的余弦值解
9、析：(1)如图所示，设OA a，OB b，OC c，且|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC3，所以abbcca12.因为OE 12(ab)，BF12cb，所以OE BF12(ab)(12cb)14ac14bc12ab12(b)212.又|O E|B F|32，所以cosOE，B F OE B F|OE|BF|23.又因为异面直线所成角的范围为0，2，所以OE与BF所成角的余弦值为23.(2)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1 两两之间的夹角均为60，且|AB|1，|AD|2，|AA1|3，求|AC1|的值解析：(2)由平行六面体ABCDA1B1C1D1可得 AC1
10、 AB ADAA1所以AC1 2AB 2AD 2AA1 22ABAD 2ABAA1 2AD AA11222322cos 60(121323)25所以|AC1|5.方法技巧1求两个向量的夹角有两种方法：(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求 ab，再利用公式 cosa，b ab|a|b|求 cosa，b，最后确定a，b方法技巧2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；(2)异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；(3)利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；(4)异
11、面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小方法技巧3利用向量的数量积求线段的长(两点间的距离)，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|aa求解即可变式训练 1(1)如图，在空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则异面直线 OA 与 BC 的夹角的余弦值为_解析：(1)BCACABOA BCOA ACOA AB|OA|AC|cosOA，AC|OA|AB|co
12、sOA，AB84cos 13586cos 1202416 2cosOA，BC OA BC|OA|BC|2416 28532 25异面直线OA与BC的夹角的余弦值为32 25.答案：(1)32 25(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60的角，则B、D间的距离为_解析：(2)ACD90 ACCD 0同理可得ACBA0AB与CD成60角BA，CD 60或BA，CD 120，又BD BAACCD|BD|2|BA|2|AC|2|CD|22(BAACBACD ACCD)3211cosBA，CD 当BA，CD 60时，|BD|24，
13、|BD|2；当BA，CD 120时，|BD|22|BD|2.答案：(2)2或 2题型三判断或证明线线垂直例 2已知空间四边形 OABC 中，AOBBOCAOC，且 OAOBOC，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是 MN 的中点，求证：OGBC.证明：连接ON，设AOBBOCAOC，又设OA a，OB b，OC c，则|a|b|c|.又OG 12(OM ON)1212OA 12(OB OC)14(abc)，BCcb.OG BC14(abc)(cb)14(acabbcb2c2bc)14(|a|2cos|a|2cos|a|2|a|2)0.OG BC，即OGBC.方法技巧用向量法证明垂直关系的
14、一般步骤1把几何问题转化为向量问题2用已知夹角、模的向量把未知向量表示出来3结合数量积公式及运算律证明向量的数量积为 0.4将向量问题转化为几何问题，得到几何结论变式训练 2已知：如图，空间四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD.求证：ADBC.证明：证法一 ABCD，ACBD，ABCD 0，ACBD 0，AD BC(AB BD)(AC AB)AB AC BD AC AB 2ABBD AB(ACABBD)ABDC 0，ADBC.证法二 ABCD，ABCD AB(AD AC)0，即ABAD ABAC.同理，由ACBD，可得ACABACAD.ABAD ACAD，AD(ACAB)0，AD BC0，
15、即ADBC.易错辨析混淆向量的夹角与空间角例 3如图所示，在平面角为 120 的二面角AB中，AC，BD，且 ACAB，BDAB，垂足分别为 A，B.已知 ACABBD6，求线段 CD 的长解析：ACAB，BDAB，CAAB0，BD AB0.二面角AB的平面角为120，CA，BD 18012060.CD 2(CA AB BD)2 CA 2 AB 2 BD 22 CA AB 2CABD 2BD AB362262cos 60144，CD12.【易错警示】易错原因纠错心得本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，而误认为向量CA，BD 的夹角CA，BD 120，得到错误答案 CD6 2.利用数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可忽略角的取值范围而盲目套用利用向量求二面角的平面角时，一般不能保证所求的角就是二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的补角，这时要结合实际图形对所求的角进行适当的处理.谢谢 观 看