1、20202021学年四川成都郫都区高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）.A. ，B. ，C. ，D. ，4. 函数的大致图象是（ ）.A. B. C. D. 5. 函数，若，则实数a的值为（ ）A. 1B. -2或1C. -1D. -2或-16. 设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 7. 函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是（ ）A. 2，2B. 1，2C. 0
2、，4D. 1，38. 函数的定义域是（ ）.A. B. C. D. 9. 设，则可表示A. B. C. D. 10. 已知，定义运算“”：，设函数，则的值域为A. B. C. D. 11. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）.A. B. C. D. 12. 设函数，若，且，则取值范围是（ ）.A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若集合，则集合的子集个数为_.14. 已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的定义域是_，值域_.15. 若是奇函数，则_16. 已知函数，若在区间a，2a+1上的最大值为1，则a的取值范围为_三、解答题（本
3、大题共6小题，共70分）17. 计算：（1）.（2）.18. 已知全集，.（1）求 ； （2）若且，求的取值范围.19. 已知函数.（1）请判断函数在和内的单调性，并用定义证明在的单调性.（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.20. 设函数，（且），若.（1）求函数定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合.21. 经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间 (单位：天)的函数，且销售量满足=，价格满足=(1)求该种商品日销售额与时间的函数关系；(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收
4、益达到理想程度?22. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.（1）若，证明：函数必有局部对称点.（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.20202021学年四川成都郫都区高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求集合，再求集合交集与并集即可得答案.【详解】解：因为，所以，故选：A.【点睛】本题考查指数不等式，集合交并集运算，是基础题.2. 设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分
5、对应的集合为，然后根据集合的基本运算即可求解【详解】解：全集，集合，故选：D3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）.A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】分别判断四个选项中每两个函数的定义域和对应关系是否相同，即可得正确选项.【详解】对于A选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项A错误.对于B选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项B错误.对于C选项：因为定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项C错误.对于D选项：因为的定义域为，值域为，而的定义域为，值
6、域为，与表示的是同一个函数，故选项D正确.故选：D.4. 函数的大致图象是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断【详解】由函数解析式可得：可得值域为：，由指数函数的性质知：在上单调递增；在上单调递减.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5. 函数，若，则实数a的值为（ ）A. 1B. -2或1C. -1D. -2或
7、-1【答案】C【解析】【分析】根据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.详解】当时，令 ，与矛盾，不合题意；当时，令 ，取 ，符合题意，故选：C6. 设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质结合中间值0和1比较【详解】由指数函数性质得，由对数函数性质得，故选：A【点睛】本题考查比较幂与对数，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键解题方法是借助中间值比较大小7. 函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是（ ）A. 2，2B. 1，2C. 0，4D. 1，3【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即
8、可.【详解】由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，得，即故选：D8. 函数的定义域是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由二次根式下被开方数非负，对数的真数大于0，及分母不为0可得【详解】要使函数有意义，则，即，即，则且，即函数的定义域为.故选：D.9. 设，则可表示为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：利用换底公式和对数运算性质计算即可.详解：，.故选B.点睛：本题考查了换底公式和对数的运算性质.10. 已知，定义运算“”：，设函数，则的值域为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件中给出的新定义，写出的解析式，然后分段求其
9、值域，得到答案.【详解】函数，当，所以当时，；当时，所以由题意，当时，当时，单调递增，所以所以的值域为，故选C【点睛】本题考查分段函数求值域，通过函数的单调性求值域，属于简单题.11. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数判断其奇偶性，进而将不等式转化为，再利用函数单调性解不等式即可【详解】令函数，则，对任意的，可得，所以，函数的定义域为，则为奇函数，所以有，即，由，即，即，令，则该函数的定义域为，则函数为奇函数，由于函数在上单调递增，则该函数在上也为增函数，所以，函数在上为增函数，由于函数在上为增函数，函数在上也为增函数，所以，在
10、上单调递增，计算得出，原不等式的解集为.故选：A.【点睛】关键点点睛：通过观察，发现其局部具有奇偶性，进而可构造奇函数，另外单调性法是解抽象函数不等式的常用方法，对于复杂函数，也可以通过观察出其单调性，再利用单调性解不等式12. 设函数，若，且，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出函数图象，数形结合可得出，即可求出.【详解】函数的图象如图：，且，可得.故选：D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若集合，则集合的子集个数为_.【答案】8【解析】【分析】根据集合子集的定义和公式即可得到结论【详解】记是集合中元素的个数，集合的子集个数为
11、个.故答案为8【点睛】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n-1个14. 已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的定义域是_，值域是_.【答案】 . . 【解析】【分析】由函数图像直接求函数的定义域和值域【详解】解：由函数图像可知，函数的定义域为，值域为，故答案为：，【点睛】此题考查由函数的图像求函数的定义域和值域，属于基础题15. 若是奇函数，则_【答案】【解析】【详解】，故16. 已知函数，若在区间a，2a+1上的最大值为1，则a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先作函数图象，结合图象分类确定最大值为1所满足的条件，解得结果.【详
12、解】因为，作函数图象：由图象得【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 计算：（1）.（2）.【答案】（1）；（2）111.【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解；（2）先将根式化成分数指数幂，再利用指数的运算性质即可求解.【详解】（1）.（2）.18. 已知全集，.（1）求 ； （2）若且，求的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【详解】试题分析：（1）先求出，再求（2）由可得，分和两种情况讨论求解试题解析：（1）由题意得， ， ，（2）， 当时，满足，此时，解得； 当，由得，解得综上
13、 实数的取值范围为点睛：解答本题时要注意以下几点：（1）在解题中注意AB、ABA、ABB这几个关系式的等价性，要善于将问题进行转化，这是解决此类问题的一种极为有效的方法 （2）对于数集关系问题，往往要利用数轴进行分析；当根据求参数的范围时，一定要分和两种情况进行讨论19. 已知函数.（1）请判断函数在和内的单调性，并用定义证明在的单调性.（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在内单调递减，在内单调递增，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由单调性的定义证明；（2）分离参数不等式变形为在时恒成立，然后由函数的单调性得右边的最小值即可得结论【详解】（1）在内单调递减，在内单调递
14、增.任取且，.因为，所以，所以，因为，即，因此，函数在上是单调减函数.（2）由在时恒成立，得在时恒成立，由（1）知，函数在减函数，所以当时，取得最小值，所以，因此，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：本题考查用定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题，解决不等式恒成立的常用方法是用分离参数法转化为求函数的最值在不能分离参数时，可直接引入函数，利用分类讨论思想求得函数的最值，由最值满足的不等关系得出参数范围20. 设函数，（且），若.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合.【答案】（1）；（2）奇函数，理由见解析；（3）时，；时，【解析】【分析】（1）由题
15、意得到解析式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到定义域；（2）对进行化简，得到，从而进行判断；（3）分和两种情况，分别得到关于的不等式，从而解出的范围，得到答案.【详解】（1）函数，所以所以，解得，所以函数定义域为（2）由（1）可知，定义域为，关于原点对称，所以为奇函数（3），即即所以，当时，得到，解得，当时，得到，解得，综上所述，时，；时，【点睛】本题考查求函数的定义域，判断函数的奇偶性，解对数不等式，属于简单题.21. 经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间 (单位：天)的函数，且销售量满足=，价格满足=(1)求该种商品的日销售额与时间的函数
16、关系；(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?【答案】（1）=，（2）天数为第53，54，60，61天，共9天【解析】【分析】（1）利用= ，通过的范围求出函数的解析式；（2）令解出的范围即可得出结论【详解】(1)由题意知，当时，= =，当时，= =，所求函数关系=(2)当时，=，函数在上单调递增，= = (元)，当时，=，函数在上单调递减，= = (元)若销售额超过16610元，当时，函数单调递减，故只有第61天满足条件当时，经计算满足条件，又函数在上单调递增，第53，54，60天，满足条件，即满足条件的天数为第53，54，6
17、0，61天，共9天【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的综合应用，注意自变量在不同范围内对应的解析式，属于中档题22. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.（1）若，证明：函数必有局部对称点.（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由定义可知有解，整理后转化为证明一元二次方程恒有解；（2）根据整理为（*）在上有解，通过换元，设，转化为关于的一元二次方程在内有解，列式求参数的取值范围.【详解】（1）由得，代入得，得到关于的方程，其中，由于且，恒成立，函数必有局部对称点.（2）在上有局部对称点，在上有解，即（*）在上有解，令，则，方程（*）变为在内有解，需满足条件，即，化简得.【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义，将新定义转化为方程有根求参数的取值范围，第二问的关键点是代入后利用换元，则，转化为一元二次方程有实数根，求参数的取值范围.