1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 学 习 目 标核 心 素 养 1.会判断空间两直线的位置关系(易错点)2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角(难点、易错点)3.能用公理 4 解决一些简单的相关问题.(重点)1.通过对空间直线位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养；2.通过求异面直线所成角及公理 4 的运用，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养自 主 预 习 探 新 知 1空间直线的位置关系(1)异面直线：不同在 平面内的两条直线(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图所示，为了表示异面直线不
2、共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托 任何一个(3)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分：没有公共点 有且仅有一个公共点 从是否共面的角度来分：在同一平面内 不同在任何一个平面内 平行异面相交平行相交异面思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示 不一定.可能平行、相交或异面2公理 4 及定理(1)公理 4：平行于 直线的两条直线互相 符号表示：ab，bc (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别 ，那么这两个角 同一条平行ac对应平行相等或互补3异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间 一点 O 作直线aa，bb，则异面直线 a 与
3、 b 所成的角就是直线 a与 b所成的 (或 ).(2)范围：特别地，当 时，a 与 b 互相垂直，记作 任意锐角直角09090abD 与 相等或互补，为 60或 120，故选 D.1空间任意两个角，且 与 的两边对应平行，60，则 为()A60 B120 C30 D60或 120D 平行直线和异面直线都没有公共点，故应选 D.2如果两条直线 a 和 b 没有公共点，那么 a 与 b 的位置关系是()A共面B平行C异面D平行或异面90 45 BCBC，ABC即异面直线 AB与 BC 所成的角，ABC90，又 BCAD，DAD 是异面直线 AD与 BC 所成的角，DAD45.3如图所示，正方体
4、ABCD-ABCD中，异面直线 AB与 BC 所成的角为_异面直线 AD与 BC 所成的角为_合 作 探 究 释 疑 难 空间两条直线位置关系的判定【例 1】(1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面直线的对数为 ()A.1 B2 C3 D4C 还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为 AB与 CD，AB 与 GH，EF 与 GH.(2)以下选项中，点 P，Q，R，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的是()A B C D C 本题容易错选 A 或 B 或 D.不能严格根据异面直线的定义
5、对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择A，B 中，PQRS，D 中，PQ 和 RS 相交故选 C.1判断空间中两条直线位置关系的诀窍：(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系特别关注异面直线(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.2判定两条直线是异面直线的方法：(1)证明两条直线既不平行又不相交(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为 A，B，Bl，l，则 AB 与 l 是异面直线(如图).跟进训练1(1)一条直线与两条异面直线中的一条平行，则
6、它和另一条的位置关系是()A平行或异面 B相交或异面C异面D相交(2)在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为对角线 AC，BD 的中点，则 BE 与 CF 的位置关系为()A平行B异面C相交D以上均有可能(1)B(2)B(1)假设 a 与 b 是异面直线，而 ca，则 c 显然与 b不平行(否则 cb，则有 ab，矛盾)；因此 c 与 b 可能相交或异面(2)根据题意画出图形如图，BE 与点 C 在平面 ABC 内，且 BE 不过点 C，又点 F平面 ABC，故 BE 与 CF 既不平行也不相交，只能异面公理 4 及等角定理的应用【例 2】如图所示，在正方体 ABCD-ABCD中，E、F、
7、E、F分别是 AB、BC、AB、BC的中点求证：EEFF.证明 因为 E、E分别是 AB、AB的中点，所以 BEBE，且 BEBE.所以四边形 EBBE是平行四边形所以 EEBB，同理可证 FFBB.所以 EEFF.1证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法三角形中位线、平行四边形的性质等(2)定义法用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点(3)公理 4用公理 4 证明两条直线平行，只需找到直线 b，使得 ab，同时bc，由公理 4 即可得到 ac.2证明两个角相等或互补的方法(1)利用等角定理(2)利用三角形全等或相似跟进训练2在正方体 AB
8、CD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为棱 CC1，BB1，DD1 的中点，试证明：BGCFD1E.证明 因为 F 为 BB1 的中点，所以 BF12BB1，因为 G 为 DD1的中点，所以 D1G12DD1.又 BB1 綊 DD1，所以 BF 綊 D1G.所以四边形 D1GBF 为平行四边形所以 D1FGB，同理 D1EGC.所以BGC 与FD1E 的对应边平行且方向相同，所以BGCFD1E.异面直线所成的角探究问题1.已知直线 a，b 是两条异面直线，如图，如何作出这两条异面直线所成的角？提示 如图，在空间中任取一点 O，作直线 aa，bb，则两条相交直线 a，b所成的锐角(或直角)
9、，即两条异面直线 a，b 所成的角2异面直线 a 与 b 所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取在什么位置？提示 异面直线 a 与 b 所成角的大小只与 a，b 的相互位置有关，与点 O 的位置选择无关，一般情况下为了简便，点 O 常选取在两条异面直线中的一条上【例 3】如图，三棱锥 A-BCD 中，ACBD，E 在棱 AB 上，F在棱 CD 上，并使 AEEBCFFDm(m0)，设 为异面直线 EF和 AC 所成的角，为异面直线 EF 和 BD 所成的角，试求 的值.解 过点 F 作 MFBD，交 BC 于点 M，连接 ME，则 CMMBCFFD m，又因为 AEEB
10、CFFDm，所以 CMMB AEEB，所以 EMAC，所以 MEF，MFE，所以 AC 与 BD 所成的角为EMF.因为 ACBD，EMF90，所以 90.将本例变为：如图所示，点 A 是平面 BCD 外一点，ADBC2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF 2，求异面直线 AD 和 BC 所成的角解 如图，设 G 是 AC 的中点，连接 EG，FG.因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点，故 EGBC 且 EG12BC1，FGAD，且 FG12AD1，即EGF 为所求角，又 EF 2，由勾股定理逆定理可得EGF90.求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，
11、通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角(2)计算角：求角度，常利用三角形(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角课 堂 小 结 提 素 养 1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小D 若直线 a 和
12、b 共面，则由题意可知 ab；若 a 和 b 不共面，则由题意可知 a 与 b 是异面直线1若空间两条直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是()A共面 B平行C异面D平行或异面C 根据定理，AOB与AOB 相等或互补，即AOB130或AOB50.2若 OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为()A130B50C130或 50 D不能确定3如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是_；(2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_；(3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是_；(4)
13、直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_(1)平 行 (2)异 面 (3)相 交 (4)异 面 (1)在 长 方 体ABCD-A1B1C1D1 中，A1D1BC，A1D1BC，所以四边形 A1BCD1 为平行四边形，所以 A1BD1C.(2)直线 A1B 与直线 B1C 不同在任何一个平面内(3)直线 D1D 与直线 D1C 相交于点 D1.(4)直线 AB 与直线 B1C 不同在任何一个平面内4如图所示，空间四边形 ABCD 中，ABCD，ABCD，E、F分别为 BC、AD 的中点，求 EF 和 AB 所成的角解 取 AC 的中点 G，连接 EG，FG，则 FGCD，EGAB，所以FEG 即为 EF 与 AB 所成的角，且 FG12CD，EG12AB，又 ABCD，所以 FGEG.又由 ABCD 得 FGEG，所以FEG45.故 EF 和 AB 所成的角为 45.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
