1、必修4模块测试评估卷一、选择题1.-3290是().A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】-3290=-36010+310,310是第四象限角,-3290是第四象限角.【答案】D2.已知PQ=(2,-1),点Q的坐标为(-1,3),则点P的坐标为().A.(3,-4)B.(-3,4)C.(4,-3)D.(-4,3)【解析】设点P的坐标为(x,y),则PQ=(-1-x,3-y),-1-x=2,3-y=-1,x=-3,y=4,点P的坐标为(-3,4).【答案】B3.下列函数是周期为2的偶函数的是().A.y=sin 4xB.y=cos22x-sin22xC.y=tan 2
2、xD.y=cos 2x【解析】A中,函数的周期T=24=2,是奇函数;B中,函数可化为y=cos 4x,其周期为T=24=2,是偶函数;C中,T=2,是奇函数;D中,T=22=,是偶函数.【答案】B4.为了得到函数y=sin(-3x)的图象,只需将函数y=cos3x+4的图象().A.向右平移4个单位长度B.向左平移4个单位长度C.向右平移12个单位长度D.向左平移12个单位长度【解析】因为y=sin(-3x)=cos2+3x=cos 3x+6,y=cos3x+4=cos 3x+12,所以需向左平移6-12=12个单位长度.【答案】D5.平面向量a与b的夹角为60,a=(2,0),|b|=1,
3、则|a+2b|等于().A.2B.22C.23D.4【解析】由已知得a=2,所以a+2b2=a2+4ab+4b2=4+421cos 60+4=12,所以a+2b=23.【答案】C6.函数y=-cos2x+3cos x+54,则().A.最大值是54,最小值是1B.最大值是1,最小值是14-3C.最大值是2,最小值是14-3D.最大值是2,最小值是54【解析】因为y=-cos2x+3cos x+54=-cosx-322+2,所以当cos x=32时,ymax=2,当cos x=-1时,ymin=14-3.【答案】C7.已知向量a=(2,1),b=(1,x).若a+b与3b-2a平行,则实数x的值
4、为().A.0B.12C.1D.32【解析】由题意得,a+b=(3,1+x),3b-2a=(-1,3x-2).若a+b与3b-2a平行,则3(3x-2)-(-1)(1+x)=0,x=12.【答案】B8.函数f(x)=2sinx-2的部分图象是().【解析】f(x)=2sinx-2,f(-x)=2sin-x-2=2sin2-x=f(x),f(x)的图象关于直线x=2对称.故排除A,B,D,选C.【答案】C9.已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a(a-b),则实数x等于().A.-4B.4C.0D.9【解析】由向量a=(1,2),向量b=(x,-2),得a-b=(1-x,4).因为a
5、(a-b),所以1(1-x)+24=0,解得x=9.【答案】D10.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2=().A.-45B.-35C.35D.45【解析】由题意可知tan =2,则cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-41+4=-35.【答案】B11.关于实数x的方程ax2+bx+c=0,其中a,b,c都是非零平面向量,且a,b不共线,则该方程的解的情况是().A.至多有一个解B.至少有一个解C.至多有两个解D.可能有无数个解【解析】由题意知,关于x的方程ax2+bx+c=0(其中a,
6、b,c都是非零平面向量)可化为c=-x2a-xb,因为a,b不共线且为非零平面向量,由平面向量基本定理可知,存在唯一实数对(m,n),使得c=ma+nb,所以-x2=m,-x=n,即x2=-m,x=-n,整理得m=-n2.显然,当n0且m=-n2时,方程组有唯一一组解,即原方程有一个解;当n=0或m-n2时,方程组无解,即原方程无解.综上,该方程至多有一个解,故选A.【答案】A12.若02,-20,0,直线x=4和直线x=54是函数f(x)=sin(x+)图象的两条相邻的对称轴,则=.【解析】由题意可知函数f(x)的周期T=254-4=2,故=1,所以f(x)=sin(x+),令x+=k+2(
7、kZ),将x=4代入可得=k+4(kZ).因为0,所以=4.【答案】415.已知向量a,b,其中向量a的模是方程x2+x-2=0的正根,|b|=2,且(a-b)a=0,则向量a与b的夹角为.【解析】由x2+x-2=0,得x=1或x=-2,由题意得|a|=1.设向量a,b的夹角为,由(a-b)a=0,得|a|2-ab=0,即ab=|a|2=1,cos =ab|a|b|=112=22.又0,=4.【答案】416.下列判断正确的是.(填写所有正确的序号)若sin x+sin y=13,则sin y-cos2x的最大值是43;函数y=sin4+2x的单调递增区间是k-8,k+38(kZ);函数f(x)
8、=1+sinx-cosx1+sinx+cosx是奇函数;函数y=tanx2-1sinx的最小正周期是.【解析】中,若sin x+sin y=13,则sin y=13-sin x-1,1,解得-23sin x1,则sin y-cos2x=sin2x-sin x-23=sinx-122-1112,当sin x=-23时,sin y-cos2x有最大值,最大值为49,故错误.中,由2k-22x+42k+2得k-38xk+8,故错误.中,函数f(x)的定义域不关于原点对称,函数f(x)不是奇函数,故错误.中,y=tanx2-1sinx=-1tanx,T=,故正确.【答案】三、解答题17.设向量e1、e
9、2的夹角为60且|e1|=|e2|=1,AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3e1-3e2.(1)证明:A,B,D三点共线.(2)试确定实数k的值,使k的取值满足向量2e1+e2与向量e1+ke2垂直.【解析】(1)由已知得BD=BC+CD=5e1+5e2,BD=5AB,即AB,BD共线且共点B,A,B,D三点共线.(2)(2e1+e2)(e1+ke2),(2e1+e2)(e1+ke2)=0,2e12+2ke1e2+e1e2+ke22=0.又|e1|=|e2|=1,且e1e2=|e1|e2|cos 60=12,2+k+12+k=0,解得k=-54.18.已知角A是三角形的一个内角.(
10、1)若tan A=2,求sin(-A)+cos(-A)sinA-sin2+A的值;(2)若sin A+cos A=15,判断三角形的形状.【解析】(1)sin(-A)+cos(-A)sinA-sin2+A=sinA+cosAsinA-cosA=tanA+1tanA-1=2+12-1=3.(2)因为sin A+cos A=15,所以(sin A+cos A)2=125,整理得sin Acos A=-12250.因为0A0,所以cos A0,得2A0,0,)的图象与y轴的交点,点Q,R是该函数与x轴的两个交点.(1)求的值;(2)若PQPR,求A的值.【解析】(1)函数y=Asin23x+经过点P
11、0,A2,sin =12.又0,),且点P在递增区间上,=6.(2)由(1)可知y=Asin23x+6.令y=0,得sin23x+6=0,23x+6=k(kZ),x=32k-14(kZ),点Q的坐标为-14,0,点R的坐标为54,0.又P0,A2,PQ=-14,-A2,PR=54,-A2.PQPR,PQPR=-516+14A2=0.A0,A=52.22.如图,点B-12,32,点A是单位圆与x轴的正半轴的交点.(1)若AOB=,求sin 2.(2)已知OM=OB+h,ON=OB-h,若OMN是等边三角形,求OMN的面积.(3)设点P为单位圆上的动点,点Q满足OQ=OA+OP,AOP=262,f
12、()=OBOQ,求f()的取值范围.当OBOQ时,求四边形OAQP的面积.【解析】(1)由三角函数定义,可知sin =yr=32,cos =xr=-12,所以sin 2=2sin cos =232-12=-32.(2)因为OB=-12,32,OM=OB+h,ON=OB-h,所以OM+ON=OB+h+OB-h=2OB=(-1,3).所以|OM+ON|=|(-1,3)|=2.所以等边OMN的高为1,边长为233,因此OMN的面积为121233=33.(3)由三角函数定义,知P(cos 2,sin 2),所以OQ=OA+OP=(1+cos 2,sin 2),所以f()=OBOQ=-12(1+cos 2)+32sin 2=sin2-6-12.因为62,所以62-656,即12sin2-61,于是0f()12,所以f()的取值范围是0,12.当OBOQ时,f()=OBOQ=0,即sin2-6-12=0,解得2=3,易知四边形OAQP为菱形,此时菱形OAQP的面积为21211sin3=32.第 8 页