1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 圆的方程基础诊断考点突破课堂总结考试要求 确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，C级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1圆的定义和圆的方程定义平面内到的距离等于的点的轨迹叫做圆圆心C(a，b)标准(xa)2(yb)2r2(r0)半径为r充要条件：圆心坐标：方程一般 x2y2DxEyF0半径r12 D2E24F定点定长D2E24F0 D2，E2基础诊断考点突破课堂总结2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)drM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在；(2)drM在圆上，即(x0a)
2、2(y0b)2r2M在；(3)drM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外圆上圆内基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()基础诊断考点突破课堂总结2方程|x|1 1y12所表示的曲线是_解析 由题意知，(|x|1)2(y1)21又|x|10，即x1或x1，故表示两个半圆答案 两个半圆基础诊断考点突破课堂总结3若点(1,1)在圆(xa)2(
3、ya)24的内部，则实数a的取值范围是_解析 因为点(1,1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a1.答案(1,1)基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版必修2P111习题T1(3)改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_解析 设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，CACB，即 a121 a129，解得a2，所以圆心为C(2,0)，半径CA 2121 10，圆C的方程为(x2)2y210.答案(x2)2y210 基础诊断考点突破课堂总结5(2014山东卷)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为
4、2 3，则圆C的标准方程为_解析 因为圆心在直线x2y0上，且圆C与y轴相切，所以可设圆心坐标为(2a，a)，则(2a)2a2(3)2，解得a1.又圆C与y轴的正半轴相切，所以a1，故圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.答案(x2)2(y1)24 基础诊断考点突破课堂总结考点一 圆的方程的求法【例1】(1)(2015扬州检测)圆心在直线2xy70上的圆C与y轴 交 于 两 点 A(0，4)，B(0，2)，则 圆 C 的 方 程 为_(2)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为_深度思考 第(2)小题常规解法有两种：一是待定系数法；二是几基础诊断考点突破课堂
5、总结解析(1)依题意，题中的圆的圆心应位于直线y3上，由y3，2xy70 得x2，y3，即圆心C(2，3)，半径R|CA|5，因此圆C的方程是(x2)2(y3)25.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为(a，a)，则|aa|2|aa4|2，即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r 222，故圆C的方程为(x1)2(y1)22.基础诊断考点突破课堂总结法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d 422 2；圆心是直线xy0被这两条平行线所截线段的中点，直线xy0与直线xy0的交点坐标是(
6、0,0)，与直线xy40的交点坐标是(2，2)，故所求圆的圆心坐标是(1，1)，所求圆C的方程是(x1)2(y1)22.答案(1)(x2)2(y3)25(2)(x1)2(y1)22基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解基础诊断考点突破课堂总结【训练1】过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(
7、2,1)，则圆C的方程为_解析 法一 由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3.过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30，联立，解得x3，y0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r432102 2，所以圆C的方程为(x3)2y22.基础诊断考点突破课堂总结法二 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，点A(4,1)，B(2,1)在圆上，故4a21b2r2，2a21b2r2，又b1a21，解得a3，b0，r 2，故所求圆的方程为(x3)2y22.答案(x3)2y22 基础诊断考点突破课堂总结考点二 与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)
8、求yx的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值基础诊断考点突破课堂总结解 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3 为半径的圆(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得k 3(如图1)基础诊断考点突破课堂总结所以yx的最大值为 3，最小值为 3.基础诊断考点突破课堂总结(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得b2 6(如图2)所以yx的最大值为2 6，
9、最小值为2 6.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为 2020022，所以x2y2的最大值是(23)2743，x2y2的最小值是(2 3)274 3.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如m ybxa 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方
10、的最值问题基础诊断考点突破课堂总结【训练2】已知两点A(1,0)，B(0,2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是_解析 如图，圆心(1,0)到直线AB：基础诊断考点突破课堂总结2xy20的距离为d 45，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是 45 1，最小值是 451，又AB 5，故PAB面积的最大值和最小值分别是2 52，2 52.答案 2 52，2 52基础诊断考点突破课堂总结考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ
11、中点的轨迹方程基础诊断考点突破课堂总结解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，PNBN.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以OP2ON2PN2ON2BN2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定
12、义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等基础诊断考点突破课堂总结【训练3】设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，基础诊断考点突破课堂总结线段MN的中点坐标为x032，y042.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y042.从而x0 x3，y0y4.又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点95，125 和215，285(点P在直线OM上时的情况)基础诊断考点突破课堂总结思想方法1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算基础诊断考点突破课堂总结易错防范1求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程2求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.