1、第2课时 函数的最大(小)值必备知识自主学习函数yf(x)在闭区间a，b上取得最值的条件 如果在闭区间a，b上的函数yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必 有最大值和最小值 导思1.函数的极小(大)值与函数的最小(大)值有何关系？2如何求函数在某一闭区间上的最小(大)值？连续不断【思考】(1)在闭区间a，b上的连续函数yf(x)有极值一定有最值，反之成立吗？提示：反之不成立，在闭区间a，b上的连续函数yf(x)有极值一定有最值，但有最值不一定有极值(2)函数的极值与最值有什么区别？提示：函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最值是函数在给定区间的整体概念函数极值只能在区间内部取得，函
2、数最值可能在区间端点取得【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最 小值()(2)闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值()(3)若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最 值()(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有 极值，则可有多个极值.()提示：(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值(2)闭区间上的连续的单调函数只有最值，没有极值.(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有
3、极值，则可有多个极值 2函数 f(x)x24x7 在 x3，5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3)Bf(3)，f(5)C.f(2)，f(5)Df(5)，f(3)【解析】选 B.因为 f(x)2x4，所以当 x3，5时，f(x)0，故 f(x)在3，5上单调递减，故 f(x)的最大值和最小值分别是 f(3)，f(5).3(教材例题改编)函数 yx44x3 在区间2，3上的最小值为()A.72 B36 C12 D0【解析】选 D.因为 yx44x3，所以 y4x34.令 y0，解得 x1.当 x1 时，y1 时，y0，函数单调递增，所以函数 yx44x3 在 x1 处取得极小值 0.而
4、当 x2 时，y27，当 x3 时，y72，所以当 x1 时，函数 yx44x3 取得最小值 0.关键能力合作学习类型一 求函数的最值(数学抽象、数学运算)1函数 f(x)x33x(|x|1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值【解析】选 D.f(x)3x233(x1)(x1)，当 x(1，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值2函数 f(x)xex 在区间2，4上的最小值为()A.0 B1e C4e4 D2e2【解析】选 C.f(x)exxex（ex）2 1xex，当 x2，4时，f(
5、x)0 恒成立，所以 f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值求函数最值的四个步骤第一步，求函数 f(x)的定义域第二步，求 f(x)，解方程 f(x)0.第三步，列出关于 x，f(x)，f(x)的变化情况表第四步，求极值、端点值，确定最值警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较【补偿训练】1.函数 y3x4x3 在区间0，2上的最大值是()A.1 B2 C0 D1【解析】选 A.设 f(x)3x4x3，所以 f(x)12x233(12x)(12x).因为 x0，2，所以当 x12 时，f(x)0.又 f(0)0，f121，f(2)26，所以函数 y3x4x3 在区间0，2上的最大值
6、是 1.2已知函数 f(x)x312x8 在区间3，3上的最大值与最小值分别为 M，m，则Mm 的值为()A16 B12 C32 D6【解析】选 C.因为 f(x)3x2123(x2)(x2)，由 f(3)17，f(3)1，f(2)24，f(2)8，可知 Mm24(8)32.类型二 含参数的最值问题(数学抽象、数学运算)【典例】已知函数 f(x)ln xax(aR).(1)求函数 f(x)的单调区间(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1，2上的最小值四步内容理解题意条件：已知函数 f(x)ln xax(aR).结论：(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1，
7、2上的最小值思路探求(1)求导，求单调区间(2)讨论函数在1，2上的单调性，求最值书写表达(1)f(x)1x a(x0)，当 a0 时，f(x)1x a0，即函数 f(x)的单调增区间为(0，).当 a0 时，令 f(x)1x a0，可得 x1a，当 0 x1a 时，f(x)1axx0，故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，.(2)当1a 1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1，2上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a.当1a 2，即 0a12 时，函数 f(x)在区间1，2上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)a.当 11a 2，即12
8、a1 时，函数 f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数又f(2)f(1)ln 2a.所以当12 aln 2 时，最小值是 f(1)a；当 ln 2a1 时，最小值为 f(2)ln 22a.综上可知，当 0a0 得 x2，由 f(x)0 得 0 x2，所以 f(x)在2，0上为增函数，在0，2上为减函数，所以 f(x)maxf(0)m3，所以 f(x)2x36x23.又 f(2)37，f(2)5，所以 f(x)min37.2已知 a 为常数，求函数 f(x)x33ax(0 x1)的最大值【解析】f(x)3x23a3(x2a).若 a0，则 f(x)0，函数 f(x)单调递减，所以当
9、x0 时，有最大值 f(0)0.若 a0，则令 f(x)0，解得 x a.因为 x0，1，则只考虑 x a 的情况(1)若 0 a 1，即 0a1，则当 x a 时，f(x)有最大值 f(a)2a a.(如表所示)(2)若 a 1，即 a1，则当 0 x1 时，f(x)0，函数 f(x)在0，1上单调递增，当 x1 时，f(x)有最大值 f(1)3a1.综上可知，当 a0，x0 时，f(x)有最大值 0；当 0a1，x a 时，f(x)有最大值 2a a；当 a1，x1 时，f(x)有最大值 3a1.类型三 与最值有关的综合问题(数学运算、逻辑推理)角度 1 求参数的范围【典例】若函数 f(x
10、)2x2ln x 在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数 k 的取值范围是_【思路导引】利用函数的最小值点与区间的关系求范围【解析】函数 f(x)2x2ln x，x(0，)，所以 f(x)4x1x 4x21x，令 f(x)0 得，x12，由题意可知：k112k1，k10，解得 1k32，所以实数 k 的取值范围是：1k32.答案：1，32 本例中的函数不变，试求函数在区间0，a上的最小值【解析】函数 f(x)2x2ln x，x(0，)，所以 f(x)4x1x 4x21x，令 f(x)0 得，x12.所以当 0 x12 时，f()x12 时，f()x0，函数单调递增所以当 a1
11、2 时，函数有最小值 f()xminf()a2a2ln a；当 a12 时，函数有最小值 f()xminf1212 ln 2.角度 2 证明不等式【典例】当 x0 时，证明：不等式 ln(x1)x12 x2.【思路导引】利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数 f(x)ln(x1)x12 x2.因此要证明原不等式，即证 f(x)0 在 x0 时恒成立【证明】设 f(x)ln(x1)x12 x2，则 f(x)11x 1x x21x.当 x(1，)时，f(x)0，且仅当 x0 时 f(x)0，所以 f(x)在(1，)上是增函数于是当 x0 时，f(x)f(0)0，所以当 x0 时，
12、不等式 ln(x1)x12 x2 成立1关于与最值有关的参数问题一般从单调区间对参数的影响，最值的大小对参数的影响两个方面讨论关键是弄清函数的单调性，函数的单调性决定了函数的单调区间及最值的取值2证明不等式 f(x)g(x)，x(a，b)的步骤(1)将要证明的不等式 f(x)g(x)移项可以转化为证明 f(x)g(x)0；(2)构造函数 F(x)f(x)g(x)，研究 F(x)的单调性；(3)若f(x)g(x)0，说明函数 F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是增函数只需保证 F(a)0；(4)若f(x)g(x)0，说明函数 F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是减函数只需保证 F(b)0
13、.1函数 f(x)x22ax1 在0，1上的最小值为 f(1)，则 a 的取值范围为_【解析】f(x)2x2a，f(x)在0，1上的最小值为 f(1)，说明 f(x)在0，1上单调递减，所以当 x0，1时，f(x)0 恒成立，即 2x2a0.所以 ax.所以 a1.答案：(，12设23 af(a)，又 f(1)f(1)，故只需比较 f(0)与 f(1)，f(1)与 f(a)的大小因为 f(0)f(1)32 a10，所以 f(x)的最大值为 f(0)b，所以 b1.又因为 f(1)f(a)12(a1)2(a2)0，所以 f(x)的最小值为 f(1)132 ab32 a，所以32 a 62.所以
14、a 63.故所求函数的解析式是 f(x)x3 62x21.3证明不等式 xsin xtan xx，x0，2.【证明】令 f(x)tan x2xsin x，x0，2，则 f(x)sin xcos x(2x)(sin x)cos2xsin2xcos2x2cosx1cos3x2cos2xcos2x1cos2xcos3xcos2xcos2x（1cosx）（1cos xcos2x）cos2x（1cosx）（cos xsin2x）cos2x.因为 x0，2，所以 1cosx0，cos xsin2x0，所以 f(x)0，所以 f(x)在0，2上单调递增，所以 f(x)f(0)0，即 tanx2xsin x0
15、，即 xsin xtan xx.课堂检测素养达标1下列结论正确的是()A若 f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若 f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若 f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定在 xa 和 xb 时取得D若 f(x)在a，b上连续，则 f(x)在a，b上存在最大值和最小值【解析】选 D.函数 f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2如图所示，函数 f(x)导函数的图象是一条直线，则()A函数 f(x)没有最大值也没有最小值B函数 f(x)有最大值，
16、没有最小值C函数 f(x)没有最大值，有最小值D函数 f(x)有最大值也有最小值【解析】选 C.由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值3已知函数 f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且 f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)【解析】选 A.令 F(x)f(x)g(x)，则 F(x)f(x)g(x)，又 f(x)g(x)，故 F(x)0，所以 F(x)在a，b上单调递减，所以 F(x)maxF(a)f(a)g(a).4(教材练习改编)函数 f(x)x33x29
17、xk 在区间4，4上的最大值为 10，则其最小值为_【解析】f(x)3x26x93(x3)(x1).由 f(x)0 得 x3 或 x1.又 f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.则 f(x)maxk510，得 k5，所以 f(x)mink7671.答案：715求函数 f(x)sin 2xx，x2，2的最值【解析】f(x)2cos 2x1，令 f(x)0，得 cos 2x12，又因为 x2，2，所以2x，.所以 2x3.所以 x6.所以函数 f(x)在2，2上的两个极值分别为f6 326，f6 326.又 f22，f22.比较以上函数值可得 f(x)max2，f(x)min2.【补偿训练】求函数 yf(x)x42x25 在区间2，2上的最大值与最小值【解析】先求导数，得 y4x34x.令 y0，即 4x34x0，解得 x11，x20，x31.x 变化时，y，y 的变化情况以及 f(2)，f(2)的值如表：从表格知，当 x2 时，函数有最大值 13；当 x1 时，函数有最小值 4.