1、章末分层突破自我校对pi0，i1,2，ni1二点分布超几何分布P(B|A)0P(B|A)1P(BC|A)P(B|A)P(C|A)(B，C互斥)P(AB)P(A)P(B)A与B相互独立，则与B，A与，与相互独立P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)E(aXb)aE(X)bE(X)pE(X)npD(X)p(1p)D(X)np(1p)D(aXb)a2D(X) 条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率.求条件概率的主要方法有：(1)利用条件概率公式P(B|A)；(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解.在5道题中有3
2、道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.【精彩点拨】本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可.【规范解答】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n()A20.根据分步乘法计数原理，n(A)AA12.于是P(A).(2)因为n(AB)A6，所以P(AB).(3)法一由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(
3、B|A).法二因为n(AB)6，n(A)12，所以P(B|A).再练一题1.掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率.【解】设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.法一P(A|B).法二“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n(B)6.“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)3.从而P(A|B).相互独立事件的概率求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，
4、解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解.特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，反之不成立.(2)若A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)，反之成立.甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为，且各自能否被选中互不影响.(1)求3人同时被选中的概率；(2)求恰好有2人被选中的概率；(3)求3人中至少有1人被选中的概率.【精彩点拨】根据相互独立事件的概率解决.【规范解答】设甲、乙、丙能被选中的事件分别
5、为A，B，C，则P(A)(1P(B)P(B)(1P(A)，P(A)P(B)，P(A)，P(B)，P(C).(1)3人同时被选中的概率P1P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)恰有2人被选中的概率P2P(AB )P(A C)P(BC).(3)3人中至少有1人被选中的概率P31P( )1.再练一题2.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分.假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率
6、.【解】记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.7，P(A3)0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P1P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3)0.80.30.60.20.70.60.228.(2)这名同学至少得300分的概率为：P2P1P(A1A2A3)P1P(A1)P(A2)P(A3)0.2280.80.70.60.564.离散型随机变量的分布列、均值和方差1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性.2.应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较
7、收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.3.求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列.对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算.计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解.若离散型随机变量服从特殊分布(如二点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差.甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为
8、.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1，P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及数学期望、方差.【精彩点拨】(1)通过列方程组求P1和P2；(2)由题意求出甲队得分的可能取值，然后再求出的分布列，最后再求出数学期望和方差.【规范解答】(1)设“甲队胜乙队”的概率为P1，“甲队胜丙队”的概率为P2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P1P2.乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获得第一名的概率为(1P1).解，得P1，代入，得P2，所以甲队胜乙队的概率为，甲队胜丙队的概率为.(2)的可能取值为0,3,6.当0时，甲队两场比赛
9、皆输，其概率为P(0)；当3时，甲队两场只胜一场，其概率为P(3)；当6时，甲队两场皆胜，其概率为P(6).所以的分布列为036P所以E()036.D()222.再练一题3.(2015天津高考)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【解】(1)由已知，有P(A).所以，事件A
10、发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4).所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.正态分布的实际应用对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率.正态分布的概率通常有以下两种方法：(1)注意“3原则”的应用.记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性
11、结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550600分的人数.【精彩点拨】根据正态分布的性质求出P(550x600)，即可解决在550600分的人数.【规范解答】考生成绩XN(500,502)，500，50，P(550X600)P(500250X500250)P(50050X50050)(0.954 40.682 6)0.135 9，考生成绩在550600分的人数为2 5000.135 9340(人).再练一题4.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5
12、岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图21所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()图21A.997B.954C.819D.683【解析】由题意，可知60.5，2，故P(58.5X62.5)P(X)0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 0000.682 6683.【答案】D1.(2015安徽高考)若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为()A.8B.15C.16D.32【解析】已知样本数据x1，x2
13、，x10的标准差为s8，则s264，数据2x11,2x21，2x101的方差为22s22264，所以其标准差为2816，故选C.【答案】C2.(2015全国卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432 C.0.36D.0.312【解析】3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故选A.【答案】A3.(2015广东高考)已知随机变量X
14、服从二项分布B(n，p).若E(X)30，D(X)20，则p_.【解析】由E(X)30，D(X)20，可得解得p.【答案】4.(2016全国卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图22以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购
15、买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于当n20时所需费用的期望值，故应选n19.