1、2016-2017学年四川省成都市郫都区高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分,在每题给出四个选项中，选择出符合题目要求的一项）1已知集合A=xR|2x30，集合B=xR|（x2）（x1）0，则AB=（）Ax|xBx|x2Cx|1x2Dx|x22若ab0，则下列不等式不能成立的是（）A|a|b|Ba2abCD3已知直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：（3a）xy+a=0，若l1l2，则实数a的值（）A1B2C6D1或24已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）AB4C2D5sin20cos10cos160sin10
2、=（）ABCD6已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（）A cm3B cm3C cm3D cm37已知实数x，y满足不等式组，则2xy的取值范围是（）A1，3B3，1C1，6D6，18已知sin2=，则cos2=（）ABCD9在正项数列an中，若a1=1，且对所有nN*满足nan+1（n+1）an=0，则a2017=（）A1013B1014C2016D201710，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（）A若=m，n，mn，则B若，=m，=n，则mnC若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面内的无数条直线D若m，n，mn，则
3、11祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）ABCD12关于x的不等式x2（a+1）x+a0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A（4，5）B（3，2）（4，5）C（4，5D3，2）（4，5二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13等差数列an中，已知a4+a6=22，则数列
4、an的前9项和S9的值为 14已知平面内两点A（4，1），B（3，1），过定点M（2，2）的直线与线段AB恒有公共点，则直线斜率的取值范围是 15设x0，y0，且2x+y=1，求+的最小值16已知sin（+）=，sin（）=，则下列结论正确的是 sincos=5cossin sin2=若，是直角三角形的两个锐角，则tan（）的值为若，是一个三角形的两个内角，则tan（）的最大值为三、解答题（共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当函数f（x）取得最大值时，求自变量x的集合1
5、8已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（1）求an及Sn（2）求数列的前n项和Tn19如图，已知一四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）证明：BDAE（3）求二面角PBDC的正切值20在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA（1）求角B的大小；（2）若线段BC上存在一点D，使得AD=2，且AC=，CD=1，求SABC21某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出
6、租，每年收入租金30万元（）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？（）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以46万元出售该楼；纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？22已知数列an满足4an=an13（n2且nN*），且a1=，设bn（an+1），nN*，数列cn满足cn=（an+1）bn（1）求证an+1是等比数列并求出数列an的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Sn（3）对于任意nN*，cnm2m恒成立，求实数m的取值范围2016-2017学年四川省成都市郫都区高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小
7、题，每小题5分，满分60分,在每题给出四个选项中，选择出符合题目要求的一项）1已知集合A=xR|2x30，集合B=xR|（x2）（x1）0，则AB=（）Ax|xBx|x2Cx|1x2Dx|x2【考点】1E：交集及其运算【分析】分别求出集体合A和B，由此能求出AB【解答】解：集合A=xR|2x30=x|x，集合B=xR|（x2）（x1）0=x|1x2，AB=x|故选：B2若ab0，则下列不等式不能成立的是（）A|a|b|Ba2abCD【考点】71：不等关系与不等式【分析】利用不等式的基本性质即可得出【解答】解：ab0，|a|b|，a2ab，（由0aba即可得出）则下列不等式不能成立的是D故选：D
8、3已知直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：（3a）xy+a=0，若l1l2，则实数a的值（）A1B2C6D1或2【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】求出两条直线的斜率，利用两条直线的垂直关系，求出a的值【解答】解：直线l1：ax+2y+1=0，与直线l2：（3a）xy+a=0，k1=k2=3a因为两条直线的斜率都存在，且l1l2，k1k2=1，即（3a）（）=1，解得a=1或a=2故选：D4已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）AB4C2D【考点】LG：球的体积和表面积【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到
9、球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积【解答】解：正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，正四棱柱体对角线的长为=2又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=R3=故选：D5sin20cos10cos160sin10=（）ABCD【考点】GQ：两角和与差的正弦函数【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可【解答】解：sin20cos10cos160sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin30=故选：D6已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），
10、那么可得这个几何体的体积是（）A cm3B cm3C cm3D cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图判断几何体为三棱锥，求出三棱锥的高与底面面积，代入棱锥的体积公式计算【解答】解：由三视图判断几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形底边长和高都为2棱锥的体积V=222=（cm）故选C7已知实数x，y满足不等式组，则2xy的取值范围是（）A1，3B3，1C1，6D6，1【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2xy，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围【解答】解：设z=2xy，则y=2xz，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如
11、图：平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点B（0，1）时，直线y=2xz的截距最大，此时z最小，最小值z=01=1当直线y=2xz经过点C（3，0）时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大z的最大值为z=23=6，即1z6即1，6故选：C8已知sin2=，则cos2=（）ABCD【考点】GT：二倍角的余弦【分析】利用二倍角的余弦函数化简所求表达式，代入已知条件求解即可【解答】解：sin2=，cos2=故选：C9在正项数列an中，若a1=1，且对所有nN*满足nan+1（n+1）an=0，则a2017=（）A1013B1014C2016D2017【考点】8H：数列递推式【分析】a1
12、=1，且对所有nN*满足nan+1（n+1）an=0，可得=1即可得出【解答】解：a1=1，且对所有nN*满足nan+1（n+1）an=0，=1可得an=n则a2017=2017故选：D10，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（）A若=m，n，mn，则B若，=m，=n，则mnC若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面内的无数条直线D若m，n，mn，则【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】在A中，与相交但不一定垂直；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，m有可能垂直于平面内的无数条平行直线；在D中，由面面平行的判定定理得【
13、解答】解：由，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若=m，n，mn，则与相交但不一定垂直，故A错误；在B中，若，=m，=n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m不垂直平面，则m有可能垂直于平面内的无数条平行直线，故C错误；在D中，若m，n，mn，则由面面平行的判定定理得，故D正确故选：D11祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何
14、体；图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）ABCD【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】利用祖暅原理分析题设中的四个图形，能够得到在和中的两个几何体满足祖暅原理【解答】解：在和中，夹在两个平行平面之间的这两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，截面面积都相等，这两个几何体的体积一定相等故选：D12关于x的不等式x2（a+1）x+a0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A（4，5）B（3，2）（4，5）C（4，5D3，2）（4，5【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】不等式等价转化为（x1）（xa）0，当a1时，得1xa，当a1时，得ax1
15、，由此根据解集中恰有3个整数，能求出a的取值范围【解答】解：关于x的不等式x2（a+1）x+a0，不等式可能为（x1）（xa）0，当a1时得1xa，此时解集中的整数为2，3，4，则4a5，当a1时，得ax1，则3a2，故a的取值范围是3，2）（4，5故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13等差数列an中，已知a4+a6=22，则数列an的前9项和S9的值为99【考点】85：等差数列的前n项和【分析】由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6，可得数列an的前9项和S9=9（a1+a9），代入计算即可得到所求和【解答】解：等差数列an中，a4+a6=22，即有a1+a9=22，
16、则数列an的前9项和S9=9（a1+a9）=922=99故答案为：9914已知平面内两点A（4，1），B（3，1），过定点M（2，2）的直线与线段AB恒有公共点，则直线斜率的取值范围是，3【考点】I3：直线的斜率【分析】平面内两点A（4，1），B（3，1），过定点M（2，2）的直线与线段AB恒有公共点，则直线斜率k满足：kAMkkBM【解答】解：kAM=，kBM=3平面内两点A（4，1），B（3，1），过定点M（2，2）的直线与线段AB恒有公共点，则直线斜率k满足：故答案为：15设x0，y0，且2x+y=1，求+的最小值【考点】7F：基本不等式【分析】根据基本不等式，即可求出最小值【解答】解：
17、设x0，y0，且2x+y=1，（+）（2x+y）=2+1+3+2=3+2，当且仅当x=，y=1时取等号，+的最小值为3+216已知sin（+）=，sin（）=，则下列结论正确的是sincos=5cossin sin2=若，是直角三角形的两个锐角，则tan（）的值为若，是一个三角形的两个内角，则tan（）的最大值为【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】利用两角和与差的正弦公式展开化简，求得sincos=5cossin；由sin（+）=，sin（）=求得cos（+）、cos（）的值，得出sin2=sin（+）+（）=sin（+）cos（）+cos（+）sin（）不是一个值；，是直角三角形的
18、两个锐角时sin（+）=1，与已知矛盾；由知sincos=5cossin，得tan=5tan，计算tan（）=，利用基本不等式求出最大值【解答】解：对于，sin（+）=，sin（）=，sin（+）=sincos+cossin=，sin（）=sincoscossin=，2sincos=，2cossin=，sincos=5cossin，正确；对于，sin（+）=，sin（）=，cos（+）=，cos（）=，sin2=sin（+）+（）=sin（+）cos（）+cos（+）sin（），sin2不是一个值，错误；对于，是直角三角形的两个锐角，+=，sin（+）=1，与已知sin（+）=矛盾，错误；对于
19、，是一个三角形的两个内角，由知，sincos=5cossin，tan=5tan，tan（）=，当且仅当=5tan，即tan=时取“=”，正确；综上，正确的命题为故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当函数f（x）取得最大值时，求自变量x的集合【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；HW：三角函数的最值【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x+）+，利用周期公式即可计算得解（2）由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）
20、的最大值，由2x+=2k+，kZ，解得f（x）取得最大值时自变量x的集合【解答】解：（1）f（x）=cos2x+sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+）+，函数f（x）的最小正周期T=（2）由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）=sin（2x+）+的最大值为由2x+=2k+，kZ，解得：x=k+，kZ，可得当函数f（x）取得最大值时自变量x的集合为：x|x=k+，kZ18已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（1）求an及Sn（2）求数列的前n项和Tn【考点】8E：数列的求和【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出（2）利用裂项求
21、和方法即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d：a3=7，a5+a7=26，a1+2d=7，2a1+10d=26，联立解得a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1Sn=n2+2n（2）=数列的前n项和Tn=+=19如图，已知一四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）证明：BDAE（3）求二面角PBDC的正切值【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）四棱锥PABCD的体积V=，由此能求出结果（2）连结AC，由已知条件条件出BDAC，BDP
22、C，从而得到BD平面PAC，不论点E在何位置，都有AE平面PAC，由此能证明BDAE（3）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PBDC的正切值【解答】（1）解：四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC底面ABCD，PC=2，四棱锥PABCD的体积：V=（2）证明：连结AC，ABCD是正方形，BDAC，PC底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPC，不论点E在何位置，都有AE平面PAC，BDAE（3）解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知P（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，0）
23、，设平面PBD的法向量，则，取x=2，得，由题意知，设二面角PBDC的平面角为，则cos=cos=，tan=2二面角PBDC的正切值为220在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA（1）求角B的大小；（2）若线段BC上存在一点D，使得AD=2，且AC=，CD=1，求SABC【考点】HP：正弦定理【分析】（1）由2bcosB=acosC+ccosA，利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sinBcosB=sin（A+C），再根据诱导公式化简可得cosB=，结合B（0，）可得角B的大小（2）由余弦定理求得cosC的值，可得C的值，利用三角形内角和
24、公式求得A的值，再利用正弦定理求得AB的值，从而求得SABC=ABACsinA 的值【解答】解：（1）2bcosB=acosC+ccosA，根据正弦定理，可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosB=sin（A+C）又ABC中，sin（A+C）=sin=sinB02sinBcosB=sinB，两边约去sinB得2cosB=1，即cosB=，B（0，），B=（2）在ACD中，AD=2，且AC=，CD=1，由余弦定理可得：cosC=，C=，A=BC=，由，可得，AB=2，SABC=ABACsinA=2sin（）=（sincos+cossin）=（）=21某房地产
25、开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元（）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？（）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以46万元出售该楼；纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？【考点】5D：函数模型的选择与应用【分析】（）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元付出装修费共n+=n2，付出投资81万元，由此可知利润y=30n（81+n2），由y0能求出从第几年开始获取纯利润（）纯利润总和最大时，以10万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润，方案利用基本
26、不等式进行求解，当两种方案获利一样多，就看时间哪个方案短就选择哪个【解答】解：（）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n+=n2，因此利润y=30n（81+n2），令y0，解得：3n27，所以从第4年开始获取纯利润（）纯利润y=30n（81+n2）=（n15）2+144，所以15年后共获利润：144+10=154（万元）年平均利润W=30n302=12（当且仅当=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：129+46=154（万元）两种方案获利一样多，而方案时间比较短，所以选择方案22已知数列an满足4an=an13（n2且nN
27、*），且a1=，设bn（an+1），nN*，数列cn满足cn=（an+1）bn（1）求证an+1是等比数列并求出数列an的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Sn（3）对于任意nN*，cnm2m恒成立，求实数m的取值范围【考点】8H：数列递推式；3R：函数恒成立问题【分析】（1）数列an满足4an=an13（n2且nN*），变形为：an+1=（an1+1），a1+1=即可证明数列an+1是等比数列，可得an（2）bn（an+1）=n，可得bn=n2数列cn满足cn=（an+1）bn=（n2）利用错位相减法即可得出数列cn的前n项和Sn（3）n=1时，c1=0；n=2时，c2=0n3时，cn0.
28、 = =1，可得cn+1cnn=3时取得最大值，c3=对于任意nN*，cnm2m恒成立，可得m2m，即可得出【解答】（1）证明：数列an满足4an=an13（n2且nN*），变形为：an+1=（an1+1），a1+1=数列an+1是等比数列，首项与公比都为an+1=，可得an=1（2）解：bn（an+1）=n，bn=n2数列cn满足cn=（an+1）bn=（n2）数列cn的前n项和Sn=+0+2+（n2）Sn=+0+（n3）+（n2）Sn=+（n2）=+（n2）化为：Sn=（3）解：n=1时，c1=0；n=2时，c2=0n3时，cn0. = =1，因此cn+1cnn=3时取得最大值，c3=对于任意nN*，cnm2m恒成立，m2m，化为：64m264m330化为（8m11）（8m+3）0解得：或m实数m的取值范围是2017年8月10日