1、指数式的大小比较 11320.33.10.90.481.51 0.8 0.92 1.70.913 48()1.2比较下列各组实数的大小，；，；，【例】111222113211320.33.10.33.10.91.80.481.44-1.51.50.9-1.50.480.80.90.90.90.80.9.1.71,0.911.70.9.14282()2214(8.23)21yx由函数 的单调性得；由指数函数的单调性得，所以因为，所以因为，所以由指数函数的单调性得【解析】(1)(2)两组数据的底数不同，指数 也 不 同，常 见 方 法 是 寻 找 中 间量(1)题，由数的特点，知0.91/2是合适
2、的中间量；(2)题，根据指数函数的性质，1是最合适的中间量；(3)题，可转化为同底的指数幂的大小比较，只需应用指数函数的单调性【变式练习1】(1)比较60.7与0.76的大小；(2)若a、b、c都是大于1的正数，且axbx1,0.760.76.(2)设d1，则ydx是增函数，对于x0，当d增大时，函数值也增大对于x0时，由axbxcx，得abc；当x0时，由axbxcx，得cblogb5，比较a、b的大小；(2)设f(x)loga(1x)，g(x)loga(1x)(其中a1)，在公共定义域下，比较f(x)与g(x)的大小关系 555555551111loglogloglog11101,01lo
3、glogloglog0111,01ababbabaababbaabab当，时，【即，所以；当时解析，即，所以；当】时符合题意 (1,1)1log111101111010101.11(1,0)00,12af xg xxf xg xaxxxxxxxxxxxf xg xxf xg xxf xg x函数与的公共定义域是 因为，所以，当时，；当 时，；当时，于是，当时，；当 时，；当时，比较对数的大小，有三种具体情况：同底数，不同真数，利用对数函数的单调性进行判断；同真数，不同底数，利用对数换底公式转化为同底的对数；不同底数，也不同真数，利用指数、对数互化或寻找中间量进行判断(1)中是同真不同底的两个对
4、数，用对数换底公式比较简便；(2)题是函数值大小的比较，一般方法是作差，寻找自变量的取值范围或临界点，再作判断【变式练习2】(1)已知m，n0且m、n都不为1.若logn2logm20，且 a1)在区间1,1上的最大值是14，求a的值 2212max11 21max21(1)201211435()01()211114()3513.3xtatf tttttaatayaaaaaatayaaaaa 设 ，则函数化为关于 的函数 当时，解得 或 舍去；当时，解得 或 舍去 故所求 的值为【或解析】将复杂的数学问题转化为熟知的数学问题是数学化归思想的体现换元法在数学化归思想中占有重要的地位本题作换元后，
5、将函数转化为f(t)t22t1(t0)，使题目的结构一下子变得清晰起来，因为二次函数在闭区间上存在最值是我们熟悉的问题转化中要保证问题的等价性，一是由tax，需要根据函数ax的单调性找出t的取值范围，二是需要分a1和0a0，求实数a的取值范围 222max121 2?404(1)1211111()()().4222241()2111()24213().2433()44xxxxxxxxxaaxf xtxf tttf tfaa由 ，得恒成立令设，则函数转化为 ，所以所以，即实数 的取值范围是【】，解析对数函数的应用 (3)log(01)612014axf xaaxf xaf x已知函数，且判【断的
6、奇偶性，写出推理过程；当时，求函数的单例】调区间 1333log(33)33log(33)333()loglog()33361(3,3)3301log3log(33)3(12aaaaaauxxuuf uuuxf xxxxxfxf xxxxtxxaytxf xxx令 ，得 ，于是，所以因为 ，令 ，它在 上是增函数当时【解析】，函数 是减函数，所以函数是减函数，故其单调递减区间是3,3)本题有较强的综合性，首先要通过变量代换，求出函数f(x)的表达式(防止直接判断f(x3)的奇偶性)，然后再判断奇偶性在研究函数的单调性时，本解答直接应用了反比例函数的单调性(常见基本函数的单调性是可以直接应用的)
7、，如果一定要用单调性的定义来解答，也只需讨论3(33)3xtxx单调的性即可 log(1)011()214.aaf xaxf xaf x设函数证明：函数在，上是减函数；解不等式【变式练习】12211212211212211221121212()log.()()()()0()01,()()log0,()()1aaaxxx xaf xf xx xax xax xaa xxx xax xax xaf xf xx xaf xf xf xa证明：设，则因为 ，所以于是所以，所以【解函数在，上析】是减函数 011loglog0.000.1,1|12aaaf xxaxaaaxxxaxxaxxaaaxxaaa
8、aax axa因为，故由，得，则当时，得或；当时，得又所以原不等式的解集为 1.若0a1，b1，则函数f(x)axb的图象不经过第_象限【解析】由0a1，b1知，函数f(x)是减函数，且当x0时，y1b0，故其图象不经过第一象限一 122.(log)_ya xa若函数 是减函数，则 的取值范围是1220log10log111.2aaa由，得，解得【解析】1(1).2，23.lg()10_f xaxf x已知函数是奇函数，则的解集为 0001.21lg(1)lg(11)1111lg0011110.f xxfaxf xxxxxxxxx由函数在 处有意义，知，得 则由，得，解得【解析】(1,0)4.
9、01|xxayax函数 的值域是_(，1)(0,1)【解析】当x0时，yax0时，yax(0,1)，所以所求函数的值域为(，1)(0,1)5.函数f(x)loga(x2ax2)(a0，且a1)在(2，)上恒为正数，求实数a的取值范围 22202242203.31与0a1时，是R上的增函数；当0a0，且a1)的 单 调 性 由 底 数 a 的 大 小 决 定 当0a1时，ylogax是(0，)上的增函数设uu(x)0，ylogau是复合函数，只要u0成立，那么函数ylogau的值域就是R.211222323233log(01)01,01111,010111110.log0 log0.33logl
10、og1loglog01loglog3a x aaaxaxaxaxxyxyxxxxxxxy 掌握对数值的变化规律：对数函数，且，当或，时，对数值是正数；如果或，则对数值是负数；当 时，对数值为 如，从，的大小比较中，要掌握这 样的规律：；从 1412334,34loglog101.xyxxyyxyy ，的大小比较中可得到：3由指数函数、对数函数和其它函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的讨论，要同时考虑定义域和复合函数的相关知识 231loglog3()420102010_1(_2011)f xaxbxff已知函数，若，则值为扬拟州市模2323232311()4log20102010
11、1log3 42010log 2010log 20103 4log 2010log 201012010log 2010log 201031 3 2.fabababfab因为，所以 ，即 ，所以，所以【】解析答案：2选题感悟：本题主要考查对数的运算，这类问题只要直接代入数据即可2(2011南师大附中四月模拟)若实数x、y满足4x4y2x12y1，则 S 2x 2y 的 取 值 范 围 是_11224422(21)(21)2212 cos212sin3()442222sin()43()222,444xyxyxyxyxyxySS因为 ，所以，令，则 ，由，得 的取值范围【是解析】答案：(2,4选题感
12、悟：本题有一定难度，综合了指数运算，三角换元等知识，尤其是“新元”取值范围的确定，是个难点 2lg(2)(01)(3).1212(2)2xyxxAyaaaxABaABABa已知函数 的定义域为，指数函数 且的值域为若 ，求；若，求 的值应(2011徐州市考前适卷)222|20(1,2)1122(4)(4)22(1,4)(1,2)12111()(2)211222xxAxxxayaBABAaBaABaaaa依题意知 若 ，则 ，即，所以；由 ，知当 时，若，则必有【解析】；221111(2(4)(2)2222)1101()(2)21211(2)(2)22222.aBABaaaBaABaaaBABa或，此时，符合题意，故 为所求 当 时，若，则必有，此时，不符合题意，舍去；综上可知 选题感悟：本题主要考查基本函数中的重要函数指数函数和对数函数的定义域、值域，与集合知识综合考查，体现了知识应用的综合性和灵活性