1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 直线的方程基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式，B级要求；2.确定直线位置的几何要素，直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，C级要求；3.斜截式与一次函数的关系，A级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与相交的直线，把所在的直线绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转过的称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.x轴x轴逆时针最小正角基础诊断考点突破课堂总结(2)直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角的叫做
2、这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k，倾斜角是90的直线斜率不存在 过两点的直线的斜率公式经过两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1x2，那么直线的斜率公式为k(x1x2)正切值tany2y1x2x1基础诊断考点突破课堂总结2直线方程的五种形式所有直线AxByC0(A2B20)一般式不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线纵、横截距截距式与两坐标轴均不垂直的直线过两点两点式yy0k(xx0)过一点、斜率点斜式与x轴不垂直的直线ykxb纵截距、斜率斜截式适用条件方程几何条件名称yy1y2y1 xx1x2x1xayb1基础诊断考点突破课堂总结3.线段的中点坐标公式若点 P1，P2 的坐
3、标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则xx1x22，yy1y22，此公式为线段 P1P2的中点坐标公式基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)直线的斜率为tan，则其倾斜角为.()(4)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(5)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y
4、1)表示()基础诊断考点突破课堂总结2直线 3xya0(a为常数)的倾斜角为_解析 直线的斜率为 ktan 3，又因为 0180，所以 60.答案 60基础诊断考点突破课堂总结3如果 AC0，且 BC0，在 y 轴上的截距CB0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限答案 三基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版必修 2P87T3(1)改编)已知直线 l 经过点 P(2,5)，且斜率为34，则直线 l 的方程为_解析 由点斜式，得 y534(x2)，即 3x4y140.答案 3x4y140 基础诊断考点突破课堂总结5过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为_解析 当截距为 0 时，直线方程
5、为 3x2y0；当截距不为 0 时，设直线方程为xaya1，则2a3a1，解得a5.所以直线方程为 xy50.答案 3x2y0或xy50 基础诊断考点突破课堂总结考点一 直线的倾斜角与斜率 【例 1】(1)直 线xsin y 1 0 的 倾斜 角 的 变化 范 围 是_(2)经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)直线 xsin y10 的斜率是 ksin，又1sin 1，1k1，当 0k1 时，倾斜角的范围是0，4；当1k0 时，倾斜角的范围是34，.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 如
6、图所示，kPA21101，kPB11201，由图可观察出：直线 l 倾斜角 的范围是34，0，4.深度思考 同学们的解法应该多数是求kPA，kPB，再根据图象观察出倾斜角的范围，但是还有一种方法不妨试一试，在线性规划中提到过基础诊断考点突破课堂总结法二 由题意知，直线 l 存在斜率设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y1kx，即 kxy10.A，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上，(k21)(2k11)0，即 2(k1)(k1)0，1k1.直线 l 的倾斜角 的范围是34，0，4.答案(1)0，4 34，(2)34，0，4基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)由直线倾斜角
7、的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 ytan x 在0，)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在0，)上并不是单调的；(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为2时，直线无斜率基础诊断考点突破课堂总结【训练1】已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析 如图所示，直线 l：xmym0 过定点 A(0，1)，当 m0时，kQA32，kPA2，kl 1m，1m2 或1m32，解得 0m12或23m0；当 m0 时，直
8、线 l 的方程为 x0，与线段 PQ 有交点实数 m 的取值范围为23m12.答案 23，12基础诊断考点突破课堂总结考点二 直线方程的求法【例 2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 1010；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则 sin 1010(00；当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k0.基础诊断考点突破课堂总结(3)解 由题意可知 k0，再由 l 的方程，得 A12kk，0，B(0,
9、12k)依题意得12kk0，解得 k0.基础诊断考点突破课堂总结S12OAOB1212kk|12k|1212k2k124k1k412(224)4，等号成立的条件是 k0 且 4k1k，即 k12，Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：ky2y1x2x1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率当 x1x2，y1y2 时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.基础诊断考点突破课堂总结2求斜率可用ktan(90)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”3求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法基础诊断考点突破课堂总结易错防范1求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点