1、概率论与数理统计0315、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件。已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润（单位：万元）为。（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为。如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解：（1）的所有可能取值有6、2、1、2；，故的分布列为：（2）；（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，即，解得，所以三
2、等品率最多为。16、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一巨大汽油罐。已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是，每次命中与否互相独立。（1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹用尽则停止射击，设射击次数为，求的分布列及其数学期望。解：（1）“油罐被爆引的事件为事件，其对立事件为”则，；（2）射击次数的可能取值为2、3、4、5，；故的分布列为：。17、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少
3、于2个，则获奖。（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中， 摸出3个白球的概率； 获奖的概率；（2）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望。18、某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分。在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分。记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则
4、。在5次射击中，恰有2次击中目标的概率；（2）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件，则（3）解：由题意可知，的所有可能取值为，；所以的分布列是：19、在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（1）取出的3件产品中一等品件数的分布列和数学期望；（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。解：（1）由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有件一等品的概率为，所以随机变量的分布列是：的数学期望；（2）设
5、“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件；“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件；“恰好取出2件一等品”为事件；“恰好取出3件一等品”为事件；由于事件，彼此互斥，且，而，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为。20、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为。（1）求乙投球的命中率；（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望。解：（1）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得，解得或（舍去），所以乙投球的命中率为；（2）由题设和（1）知，。可能的取值为0、1、2、3，
6、故，；的分布列为：的数学期望。21、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球。现从甲、乙两个盒内各任取2个球。（1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望。解：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件。由于事件相互独立，且，。故取出的4个球均为黑球的概率为。（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均
7、为黑球”为事件。由于事件互斥，且，。故取出的4个球中恰有1个红球的概率为。（3）可能的取值为。由（1）（2）得，。从而。的分布列为：的数学期望。22、某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列。解：（1）记“射手射击1次，击中目标”为事件，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率为：；（2）解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率为：；（3）解：由题设，“”的概率为：，且；所以的分布列为：
