1、作图【例1】作出下列函数的图象(1)y|x2|(x1)；(2)y|log2x1|；(3)y2|x1|.2219()(2)2419(1)(2)24xxyxx函数化为 图象【解析】如下图 212log1(2)log1202xxyxx 函数化为 图象如下图 112(1)1()(1)23xxxyx函数化为 函数的图象如下图作函数的图象，首先要对函数表达式进行化简，再根据自变量的范围描画函数的图象；也可以应用函数图象的变换规律描述函数的图象要熟练掌握基本初等函数的图象【变式练习1】作出下列函数的图象(1)y|lgx|和ylg|x|；(2)ya|logax|(a0，且a1)【解析】(1)第一个函数的图象只
2、需将ylgx在x轴下方部分的图象沿x轴翻折上去，并去掉x轴下方的图象，如下图(1)；第二个函数的图象只需将ylgx的图象沿y轴翻折过去，同时保留y轴右边的图象，如下图(2)1011(1)11(01)(1)01(01)342aax xayxxxxayxx分或两种情况讨论：当时，函数化为 当时，函数化为 如下图函数图象的变换过程 x212212()log23(1)2(2f xfxf xf xyxyf xyfx分别叙述下列各题的求解过程已知函数的图象，求作函数和的图象；已知函数的图象，求作函数 的图象；已知函数 的图象，求作函数 【例】的图象 212212f xfxyf xf xyf x由函数的图象
3、，得到函数的图象，只需将 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来横坐标的；要得到函数的图象，只需将 的图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来纵坐标【析】的解倍 x121221()2log x2log xlogf xyxyyxyx先作出函数的图象，再作出它关于直线 对称的函数的图象，即得到函数 的图象接着作函数 的图象关于 轴对称的图象，就得到函数 的图象(3)分如下三个步骤求解：第一步，将函数yf(x1)的图象沿x轴的负方向(或向左)平移一个单位长度，得到函数yf(x)的图象；第二步，将函数yf(x)的图象以y轴为对称轴翻折180，得到函数yf(x)的图象；第三步，将函数yf(x)的
4、图象沿x轴的正方向平移2个单位长度，得到yf(x2)f(x2)的图象图象变换有三种：平移变换、对称变换、伸缩变换，要掌握三种变换的基本规律本题(1)小题是伸缩变换(联系三角函数中的周期变换和振幅变换)；(2)小题是对称变换，也可以理解为翻折变换，对称变换有轴对称变换和中心对称变换；(3)小题是平移变换，对自变量作平移必须注意，如将x向右平移1个单位长度，即(x1)，而不是x1.31212(221)(32)f xyxxxyfxyfx分别叙述下列各题的求解过程已知函数 的图象，求作函数 的图象；已知函数 的图象，求作函数【变式练习】的图象 23111331312311111xyxxyxxyxyyx
5、xyxx函数 ，分两步完成：第一步，将函数 的图象沿 轴的正方向平移一个单位长度，得到函数 的图象；第二步，将函数 的图象沿 轴的正方向平移 个单位长度，得到【解析】函数 的图象(2)分两步完成：第一步：将函数yf(2x1)的图象沿y轴翻折180，得到函数yf(2x1)的图象；第二步：将函数yf(12x)的图象沿x轴的正方向平移2个单位长度，得到函数yf(32x)的图象识图【例3】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，如右图是函数f(x)的图象令g(x)af(x)b，证明：当a1，2b0时，方程g(x)0有大于2的根【解析】将f(x)的图象以x轴为对称轴翻折得到f(x)的图象，又2b0，所以g
6、(x)的图象由f(x)的图象向下平移|b|个单位长度得到，所以g(x)在(2，)上是增函数，且g(2)b2时，f(x)0，所以a0，又因为f(x)ax33ax22axax3bx2cxd，所以b3a0，即实数b的取值范围是(，0)用图21log0(0)24axxxa若不等式 对，恒成立【例，求实数 的】取值范围 22log.10log001.21(0)211(),241 1(,)2 4aaf xxg xxxxxaf xg xfg xA设，因为，得作出两函数、在，上的图象，易知所以，当函数的【解析】图象经过点时，2111log.42161111(0)log()22216111(0)16421411
7、)16aaaxaaf xxg xa由，得 当，时，由，得；当 时，由于，而，故实数 的取值范围是，将不等式(含参数)转化为函数的关系，借助于函数图象来研究，是数学思想灵活运用的体现本题直接解不等式是困难的本题也可以作另外的解释，即 221log(0)2log1(0)2111.2441log01(0)2111,24414aaaxxxf xxg xxf xxf xf xg xxaxg xg xg x恒成立，就是函数 的最大值小于函数的最小值因为在，上，函数是单调增函数，当时，所以函数在，上是单调减函数，当时，所以当 时，也符合题意【变式练习4】已知关于x的方程x24|x|5m有四个不相等的实根，求
8、实数m的取值范围【解析】设y1x24|x|5，y2m，作函数y1x24|x|5，y2m的图象如右图，由图可知要使方程x24|x|5m有四个不相等实根，只需两图象有四个不同的交点，即1m5.11.1yx 与曲线 关于原点对称的曲线的表达式是_11yx 2.函数f(x)(xa)(xb)2(ab)，、()是方程f(x)0的两个实数根，则 、a、b 的 大 小 关 系 是_ab0)平移a个单位长度，就得到函数yf(xa)的图象；把函数yf(x)的图象沿x轴方向向右(a0)平移a个单位长度，就得到函数yf(xa)的图象；上下平移：把函数yf(x)的图象沿y轴方向向上(a0)平移a个单位长度，就得到函数y
9、f(x)a的图象；把函数yf(x)的图象沿y轴方向向下(a0)平移a个单位长度，就得到函数yf(x)a的图象(2)对称变换轴对称：设函数yf(x)的图象的对称轴是直线xa，则f(ax)f(ax)或f(2ax)f(x)；当a0时，函数f(x)是偶函数；中心对称：设函数yf(x)的图象的对称中心为(a,0)，则f(ax)f(ax)或f(2ax)f(x)；当a0时，函数f(x)是奇函数；设对称中心是(a，b)，则f(ax)2bf(ax)或f(x)2bf(2ax)图象的对称变换中，要注意两个函数图象的对称性问题：如函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关
10、于原点对称；函数yf(x)与函数yf 1(x)的图象关于直线yx对称等图象对称变换中的翻折问题：如把函数yf(x)在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，在x轴上方的保持不变，就得到函数y|f(x)|的图象；把函数yf(x)在y轴右边的图象沿y轴翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，就得到函数yf(|x|)的图象2图象对称性的证明(1)轴对称图形：已知函数yf(x)，其对称轴方程为xa，证明依据f(ax)f(ax)或f(2ax)f(x)；当a0时，函数f(x)是偶函数(2)中心对称图形：已知函数yf(x)，其对称中心为(a,0)，证明依据f(ax)f(ax)或f(2ax)f(x)；当a0时，函数f
11、(x)是奇函数对称中心为(a，b)，证明依据f(ax)2bf(ax)或f(2ax)2bf(x)3应用图象可以直观地解决很多问题，如解决与方程的解的个数有关的问题、解不等式等，应用图象解决问题的前提是正确地画出图象，而画图的步骤：求定义域；化简解析式；确定基本函数及图象变换的顺序；作出图象1(2010无锡一中期中卷)将函数ylog2(2x1)的图象向右平移1个单位长度可以得到函数的解析式是_答案：ylog2(2x1)选题感悟：函数图象是最为直观形象表达函数关系的工具，而图象的变换是作函数图象的重要手段，也是历年高考考查的重点(0)1log09_2.caxb xf xxxabc (2010泰州市上
12、期期末考卷)连续函数的图象如图所示，则学联c10,2log()9112log0,293(1,0)2213.3cyxcyaxbababc将点代入 得，解得 ；再将点和分别代入 解得 ，所以 【解析】133答案：选题感悟：这是一道识图题，从图中看出图象经过的点，通过解方程组求解3(2010 徐州市考前适应卷)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x，且在1,3内，关于x的方程f(x)kxk1(kR，k1)有四个根，则k的取值范围是_ 1(1)1(1)1,31(0)3f xkxkkkyf xykxkkkkRR方程 ，有四个根，即函数，在 内有四个不同的交点，作出图象如图，当动直线夹在两条虚线之间时满足题意，此时斜率 的取值【解析】范围是 ，1(0)3，答案：选题感悟：这是一道已知方程根的个数，求字母的取值范围的问题，这类问题一般是将方程的根转化为两个函数图象的交点个数，常用数形结合的方法求解